Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais definidas

∫ - π / 2 π / 2 8 t 2 + c o s c o s   t   d t

Passo 1

Faaala, galeeera! Tudo tranquilo por aí?

Essa questão não tem muito o que a gente falar!! É meter a mão na massa e “simbora” fazer essa integral comigo, já é?

Mas antes, vamos fazer um rolê aqui pra facilitar nossa vida em cálculo, pois sabemos que a soma do integrando é a mesma coisa da soma das integrais de cada termo, ou seja:

∫ - π / 2 π / 2 8 t 2 + c o s c o s   t   d t = ∫ - π / 2 π / 2 8 t 2 d t + ∫ - π / 2 π / 2 c o s c o s   t   d t

Ficou muito mais tranquilo de enxergar agora as integrações né?

Passo 2

Vamos fazer a primeira integral!

∫ - π 2 π 2 8 t 2 d t

Note que temos uma propriedade que podemos usar na integral ali. Qual é? Bem, toda vez que temos os limites de integração indo de -a até a, podemos escrever que a integração é 2 vezes a integral de 0 até o valor de a. Se liga!!

∫ - π 2 π 2 8 t 2 d t = 2 ∫ 0 π 2 8 t 2 d t = 16 ∫ 0 π 2 t 2 d t

Logo,

2 t 3 3 ​ | 0 π 2 = 2 3 π 2 3 - 0 3 = π 3 3

Passo 3

Partindo para a segunda integral, temos:

∫ - π / 2 π / 2 c o s   t   d t = 2 ∫ 0 π / 2 c o s   t   d t

2   s e n t ​ | 0 π 2 = 2 s e n π 2 - s e n 0 = 2 1 - 0 = 2

Ou seja, temos:

∫ - π / 2 π / 2 8 t 2 + c o s   t   d t = π 3 3 + 2

Até a próxima!

Resposta

∫ - π / 2 π / 2 8 t 2 + c o s   ( t )   d t = π 3 3 + 2

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