Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais definidas abaixo

j )   ∫ 0 1 / 2 2 1 - x 2 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema pediu para calcularmos essa integral aqui

∫ 0 1 / 2 2 1 - x 2 d x

A ideia aqui é encontrar das fórmulas de primitivas que mais se adequa ao que temos!

Anota aí as principais primitivas:

E depois? Depois de integrar, precisamos aplicar nos limites de integração! E é isso! Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa integral indefinida é

∫ 2 1 - x 2 d x = 2 ∫ 1 1 - x 2 d x

Olhando com mais carinho a nossa tabela de primitivas, vemos que podemos usar a integral trigonométrica que dá o arco seno:

∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin ⁡ ( x )

A menos de uma constante multiplicativa!

Beleza até aqui?

Passo 3

Agora vamos aplicar nos limites de integração! Relembrando que nossa integral era definida e assim:

∫ 0 1 2 2 1 - x 2 d x

E no passo anterior calculamos a indefinida

2 ∫ 1 1 - x 2 d x = 2 arcsin ⁡ ( x )

Agora é só usar esse resultado e aplicar nos limites:

∫ 0 1 / 2 2 1 - x 2 d x = 2 arcsin ⁡ ( x ) 0 1 / 2 = 2 arcsin ⁡ 1 2 - [ 2 arcsin ⁡ ( 0 ) ]

= 2 .   π 6 - 2 ( 0 ) = π 3

Aí nossa integral é

∫ 0 1 / 2 2 1 - x 2 d x = π 3

E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

π 3

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