Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

1 . Selecione qual dos pontos abaixo pertence à reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) no ponto 2 64 ,   8 ln ⁡ 2 - 3 64 , onde

y = f x = ∫ x / 2 2 x ln ⁡ ( 64 t ) d t .

A : 0 ,   2 64 .

B : 0 ,   3 64 .

C : 0 ,   - 1 64 .

D : 0 ,   - 3 64 .

E : 0 ,   - 2 64 .

Passo 1

Vamos juntos bater de frente com essa questão!

Temos que encontrar o ponto que pertence a reta tangente de f ( x ) que passa pelo ponto que o enunciado nos deu.

Para isso precisamos montar a equação dessa reta tangente, ela vai ter de forma geral o seguinte formato:

y = a x + b

Então se a gente conseguir achar a e b , podemos colocar x = 0 , já que todas as alternativas tem isso e ver o que obtemos para y .

O parâmetro a é coeficiente angular e ele é igual a derivada da função f ( x ) no ponto onde a reta tangência, então temos que ir atrás de f ' 2 64 e para isso não precisamos resolver a integral.

Como queremos a derivada de f ( x ) podemos usar o teorema fundamental do cálculo onde temos que:

d d x ∫ a x f t   d t = f x d d x x - f a d d x ( a )

Com isso encontramos f ' ( x ) e depois é só substituir o ponto que nos interessa.

E agora para achar o parâmetro b ? Podemos usar o ponto que o enunciado nos deu já que ele pertence a reta, como teremos o valor de y ,   x e a basta isolarmos o b que a gente encontra ele.

Vamos as contas!

Passo 2

Primeiro vamos encontrar f ' ( x ) , temos o seguinte:

f ' x = d d x ∫ x / 2 2 x ln ⁡ ( 64 t ) d t

Usando o teorema fundamental do cálculo temos:

d d x ∫ x / 2 2 x ln ⁡ ( 64 t ) d t = ln ⁡ ( 64 ⋅ 2 x ) ⋅ d d x 2 x - ln ⁡ 64 ⋅ x 2 ⋅ d d x x 2

= 2 ln ⁡ ( 128 x ) - 1 2 ln ⁡ 32 x

Usando as propriedades de l n , temos:

2 ln ⁡ 128 + ln ⁡ ( x ) - 1 2 ln ⁡ ( 32 ) + ln ⁡ ( x )

= 2 ln ⁡ 2 7 + ln ⁡ ( x ) - 1 2 ln ⁡ 2 5 + ln ⁡ x

= 2 7 ln ⁡ 2 + ln ⁡ ( x ) - 1 2 5 ln ⁡ 2 + ln ⁡ x

Então temos que:

f ' x = 3 2 ln ⁡ x + 23 2 ln ⁡ ( 2 )

Passo 3

Agora vamos encontrar f ' 2 64 que é igual a a , assim:

f ' 2 64 = 3 2 ln ⁡ 2 64 + 23 2 ln ⁡ ( 2 )

= 3 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 64 + 23 2 ln ⁡ ( 2 )

= 3 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 6 + 23 2 ln ⁡ ( 2 )

= 3 2 ln ⁡ 2 - 6 ln ⁡ 2 + 23 2 ln ⁡ ( 2 )

Temos então:

- 15 2 ln ⁡ 2 + 23 2 ln ⁡ 2 = 8 2 ln ⁡ 2 = 4 ln ⁡ ( 2 )

Então temos que:

a = 4 ln ⁡ ( 2 )

Passo 4

Agora temos que encontrar b , vamos usar o ponto 2 64 ,   8 ln ⁡ 2 - 3 64 que pertence a reta tangente, assim a equação da reta tangente fica da seguinte forma:

8 ln ⁡ 2 - 3 64 = 4 ln ⁡ 2 2 64 + b

⇒ 8 ln ⁡ 2 64 - 3 64 = 8 ln ⁡ 2 64 + b

Então temos que:

b = - 3 64

Então a equação da reta tem essa cara aqui:

y = 4 ln ⁡ 2 x - 3 64

Passo 5

Agora vamos avaliar essa equação para x = 0 , com isso temos:

y = 4 ln ⁡ 2 ( 0 ) - 3 64

⇒ y = - 3 64

Então o ponto que pertence a reta é:

0 ,   - 3 64

Olhando as alternativas que o enunciado tem, a única certa é a letra D .

Resposta

D : 0 ,   - 3 64

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