Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais

a )   ∫ 0 3 | x 2 - 4 | d x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? O problema nos deu essa integral aqui para resolver

∫ 0 3 x 2 - 4 d x

Você percebe que ali dentro tem um módulo? Então: sempre que você encontrar a função módulo precisa parar, respirar e separar essa coisa em duas partes!

Isso mesmo! A função modular é uma função definida por partes, assim

f x = x = + x ,   s e   x > 0 - x ,   s e   x < 0

E isso também serve para todas as ‘famílias’ de funções modulares! Inclusive a nossa que é uma parábola!

Mas você deve estar se perguntando: a integração é entre 0 < x < 3 , por que preciso fazer isso? Eu te respondo! Note que dentro do nosso módulo tem um ' x 2 - 4 ' , isso significa que a função foi deslocada para direita em 2 unidades!

x 2 - 4 = 0 → x = ± 2

Sendo assim, o local onde antes a função era partida (no caso x = 0 ) agora é entre x = ± 2 , e nosso intervalo de integração passa pelo 2 , então precisamos tomar cuidado!

Então a ideia aqui é o seguinte: esboçar essa função modular em um gráfico para poder identificar onde há essa troca de cara de função, e como isso afeta nossa integral e depois partir para a integração!

Mas relaxa, vou fazer com você!

Passo 2

Vamos começar esboçando o integrando sem o módulo

f x = x 2 - 4

É uma parábola bem comum: boca para cima, corta o eixo y em y = - 4 , e tem raízes iguais a - 2 e 2 :

x = 0 até x = 3 a função é bem-comportada, contínua, tudo certinho!

O que será que acontece com o gráfico quando colocamos o módulo na função? O módulo tem o poder de trazer toda parte da função que está embaixo para cima!

Então toda aquela parte entre as raízes vai passar para cima do eixo x ! Saca só:

Então a nossa integral vai ficar dividia mesmo! De x = 0 até x = 2 temos a parábola com sinal trocado!

- ( x 2 - 4 ) ,   0 < x < 2

Isso porque é a parte da função modular que corresponde a - ( x ) , sacou? Já entre 2 < x < 3 , a função volta a ter a cara da parábola de antes

x 2 - 4 ,   2 < x < 3

Então taí nossa divisão! Agora é #partiu integrar

Passo 3

Passo 4

Dividimos nossa região em duas:

A = ∫ 0 2 - ( x 2 - 4 ) d x + ∫ 2 3 ( x 2 - 4 ) d x

Agora é só integrar e aplicar nos limites!

A = - x 3 3 + 4 x 0 2 + x 3 3 - 4 x 2 3

A = - 2 3 3 + 4 . 2 - - 0 3 3 + 4 . 0 + 3 3 3 - 4 . 3 - 2 3 3 - 4 . 2

E a partir daqui é só resolver essas contas e partir para o abraço!

A = - 8 3 + 8 + 9 - 12 - 8 3 + 8 = - 8 3 + 8 - 3 - 8 3 + 8 = 13 - 16 3

E por fim temos

A = 39 - 16 3 = 23 3

Assim a integral vale

∫ 0 3 | x 2 - 4 | d x = 23 3

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter ajudado!

=D

Resposta

23 3

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