Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Considere:

G x = ∫ 0 x f t d t

Onde f é a função cujo gráfico é dado abaixo:

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 ,   A R 2 = 1 ,   A R 3 = 2 3 ,   A R 4 = 3 4   e   A R 5 = 5 6 .

Calcule G - 1 , G 0 , G 1 , G ( 2 ) , G ( 3 ) e G ( 4 ) .

Passo 1

Aplicando o teorema fundamental do cálculo, temos:

∫ a b f t d t = G b - G ( a )

Ou seja, a função G nos dá a área do gráfico de f entre os pontos t = 0 e t = x .

Para os pontos que ele quer, temos:

∫ 0 - 1 f t d t = G - 1 - G ( 0 )

Como G ( 0 ) é área entre t = 0 e t = 0 sabemos que é zero, portanto:

G 0 = 0

Passo 2

Pela definição da função e dos dados, temos:

∫ - 1 0 f t d t = 4 5

Logo, temos que:

∫ 0 - 1 f t d t = G - 1

- 4 5 = G - 1

Passo 3

Aplicando a mesma lógica para o ponto seguinte, temos:

∫ 0 0 f t d t = G 0

G 0 = 0

Para o ponto seguinte temos:

∫ 0 1 f t d t = G 1

G 1 = 1

Consequentemente, para x = 2 temos:

∫ 0 2 f t d t = G 2

Pela troca de sinal das regiões, temos:

G 2 = A R 2 - A ( R 3 )

G 2 = 1 - 2 3

G 2 = 1 3

Seguindo com a solução:

∫ 0 3 f t d t = G 3

Pela mesma lógica anterior:

G 3 = A R 2 - A R 3 - A ( R 4 )

G 3 = 1 - 2 3 - 3 4

G 3 = 12 - 8 - 9 12 = - 5 12

Continuando:

∫ 0 4 f t d t = G 4

G 4 = A R 2 - A R 3 - A R 4 + A R 5

G 4 = 1 - 2 3 - 3 4 + 5 6

G 4 = 12 - 8 - 9 + 10 12

G 4 = 5 12

Resposta

G - 1 = - 4 5

G 0 = 0

G 1 = 1

G 2 = 1 3

G 3 = - 5 12

G 4 = 5 12

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