Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais definidas abaixo. Sugestão: você já resolveu essas integrais indefinidas no exercício 2 da lista de exercícios 4.6

b )   ∫ 0 1 / 2 arccos ⁡ x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos lembrou que na lista 4.6 calculamos essa integral indefinida:

∫ arccos ⁡ x d x

Usando o método de integração por partes, com

u   = arccos ⁡ x

d v = d x

E pediu para calcularmos a mesma integral, mas agora DEFINIDA

∫ 0 1 / 2 arccos ⁡ x d x

Mas calma! Não vamos precisar calcular tudo novamente! Podemos resgatar o resultado já pronto!

Então a ideia aqui é usar o resultado já calculado e aplicar os limites de integração! Lembrando que aplicar os limites de integração significa: o resultado aplicado no limite superior MENOS o resultado aplicado no limite inferior

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Resgatando o resultado (d) da lista 4.6:

∫ arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x - 1 - x 2 + C

E podemos usar esse resultado (desconsiderando aquele +C no final, claro) para calcular a integral definida de agora:

∫ 0 1 / 2 arccos ⁡ x d x = x arccos ⁡ x - 1 - x 2 0 1 / 2

Agora é só aplicar os limites!

∫ 0 1 / 2 arccos ⁡ x d x = 1 2 arccos ⁡ 1 2 - 1 - 1 2 2 - 0 . arccos ⁡ 0 - 1 - 0 2

E agora simplificando nosso resultado:

∫ 0 1 / 2 arccos ⁡ x d x = e 2 4 + 3 e - 2 4  

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 0 1 / 2 arccos ⁡ x d x = e 2 4 + 3 e - 2 4

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