Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais definidas abaixo. Sugestão: você já resolveu essas integrais indefinidas no exercício 2 da lista de exercícios 4.6

d )   ∫ 1 3 arctan ⁡ 1 x d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos lembrou que na lista 4.6 calculamos essa integral indefinida:

∫ arctan ⁡ 1 x d x

Usando o método de integração por partes, com

u   = arctan ⁡ 1 x

d v = d x

E pediu para calcularmos a mesma integral, mas agora DEFINIDA

∫ 1 3 arctan ⁡ 1 x d x

Mas calma! Não vamos precisar calcular tudo novamente! Podemos resgatar o resultado já pronto!

Então a ideia aqui é usar o resultado já calculado e aplicar os limites de integração! Lembrando que aplicar os limites de integração significa: o resultado aplicado no limite superior MENOS o resultado aplicado no limite inferior

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Resgatando o resultado (i) da lista 4.6:

∫ arctan ⁡ 1 x d x = x arctan ⁡ 1 x + 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + C

E podemos usar esse resultado (desconsiderando aquele +C no final, claro) para calcular a integral definida de agora:

∫ 1 3 arctan ⁡ 1 x d x = x arctan ⁡ 1 x + 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) 1 3

Agora é só aplicar os limites!

∫ 1 3 arctan ⁡ 1 x d x = 3 arctan ⁡ 1 3 + 1 2 ln ⁡ ( 3 + 1 ) - arctan ⁡ 1 + 1 2 ln ⁡ ( 2 )

E agora simplificando nosso resultado:

∫ 1 3 arctan ⁡ 1 x d x = 3 π 6 - π 4 + 1 2 ln ⁡ 3 + 1 2  

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 1 3 arctan ⁡ 1 x d x = 3 π 6 - π 4 + 1 2 ln ⁡ 3 + 1 2

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