Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

A velocidade de queda de um corpo com massa m caindo verticalmente após t segundos pode ser modelada por

v   =   m g k ( 1 - e - m t / k )

desde que suponhamos que a resistência do ar seja proporcional ao valor de v , onde g representa a aceleração gravitacional e k é uma constante adimensional. Encontre a altura h com relação a superfície da Terra, supondo que a altura inicial seja de h 0 metros.

Passo 1

Olá pessoal lindo do Responde Aí, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

Vamos começar! Bom a questão quer que encontremos a altura de um corpo h em queda livre, sabendo que a velocidade de queda é dada por

v   =   m g k ( 1 - e - m t / k )

E que a altura inicial é dada por h 0 . E ai xuxus, como pode começar???

Passo 2

Quando iniciamos os estudos sobre derivadas vemos que a derivada da função horária da posição é igual a função horária da velocidade.

Bom temos a função horária da velocidade de queda de um corpo, portanto podemos encontrar a função horária da posição resolvendo a integral:

h t =   ∫ v d t   =   ∫ m g k 1 - e - m t k  

h ( t ) = m g k ∫ ( 1 - e - m t / k ) d t      

Separando as integrais, temos:

h ( t ) = m g k ∫ 1 d t   - ∫ e - m t k d t  

Resolvendo as integrais, ficamos com:

h t = m g k t   + k m e - m t k

= m g t k + g e - m t / k     +   C

Onde C     é uma constante de integração.

Passo 3

Agora precisamos encontrar o valor da nossa constante de integração C , para isso vamos usar que h ( 0 )   =   h 0 , assim:

h ( t )   = m g t k + g e - m t / k     +   C  

h 0 =   0   +   g e 0 + C

h 0     =   g   +   C   →   C   = h 0   - g  

Obaa, conseguimos achar nossa constante de integração C , agora basta substituir na equação de h ( t ) .

Passo 4

Portanto,

h ( t )   = m g t k + g e - m t / k     + h 0   - g  

Tranquilinho? Ótimo!

Bons estudos e até mais! :)

Resposta

h ( t )   = m g t k + g e - m t / k     + h 0   - g  

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