Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Estude a convergência de:

  1. ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x
  2. ∫ 0 1 1 x 2 d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vamos resolver essa questão juntos?

Letra (a): precisamos avaliar a convergência dessa coisa aqui:

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x

a primeira coisa a se fazer em uma questão assim é trocar o infinito ali por uma constante, digamos por um b , e fazer a integral normalmente. Vou te mostrar, saca só:

∫ 1 b d x x 2

Ficou mais simpático né? Bom, o integrando é uma coisa do tipo A x n .

Isso mesmo! Esse denominador pode vir para o numerador se trocarmos o sinal da potência do x, assim ó:

∫ 1 b x - 2 d x

Sacou?

Aqui é uma integração de potência, e uma potência qualquer A x n integramos assim:

∫ A x n d x = A x n + 1 n + 1

Aqui o n = - 2 e A = 1 , então é só aplicar na regra:

∫ 1 b x - 2 d x = x - 2 + 1 - 2 + 1 1 b = - x - 1 1 b = - 1 x 1 b

E agora aplicar os limites:

∫ 1 b d x x 2 = - 1 b + 1 1 = 1 - 1 b

Tranquilo?

Passo 2

Agora precisamos fazer com que b → ∞ e avaliar esse limite:

lim b → ∞  ⁡ 1 - 1 b

Quando b assume um valor muito, mas muito grande, o termo 1 / b fica beeeeem pequenininho, quase zero. O termo 1 dentro dos parênteses não é afetado pelo valor de b , pois é independente dele. Então esse limite converge para 1 .

Portanto essa integral é convergente. Belezinha?

Passo 3

Agora vamos avaliar o segundo item.

Letra (b):

∫ 0 1 1 x 2 d x

Aqui o problema é o zero! Vamos substituir esse zero por c (só pra ser diferentão kkk) e calcular a integral:

∫ c 1 d x x 2 = - 1 x c 1 = - 1 1 + 1 c = 1 c - 1  

Tirando os limites de integração, essa integral é igual à outra, então só copiei o resultado e apliquei nos novos limites.

Passo 4

Agora vamos avaliar esse resultado para quando c → 0 , assim o limite fica:

lim c → 0 ⁡ 1 c - 1

À medida que c vai ficando cada vez menorzinho, a divisão de 1 por um número muito pequeno é um número bem grandão. Digamos que c = 0,0000001 , a razão 1 0,0000001 é:

1 0,0000001 = 10000000

Então cada vez que c se aproximar mais de 0 , essa razão vai assumir valores cada vez maiores! E mesmo que a gente diminua 1 (que é o caso do nosso limite), o valor vai continuar sendo beeeem alto!

Assim esse limite tende a infinito:

lim c → 0 ⁡ 1 c - 1 = ∞

Então dizemos que essa integral é divergente.

Resposta

  1. Convergente
  2. Divergente

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