Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

1) Calcule as integrais definidas abaixo.

c) ∫ 0 π sen ⁡ x d x

Passo 1

Fala aí pessoal! Tudo bem? Esse exercício está pedindo para a gente resolver essa integral aqui:

∫ 0 π sen ⁡ x d x

A ideia é a seguinte, primeiro a gente percebe que essa integral tem uns limites de integração que são aquele 0 e π que aparecem naquela cobrinha da integral. Isso nos diz que temos uma integral definida e a maneira que a gente resolve é usando o teorema fundamental do cálculo: Se sabemos a integral de uma função:

∫ f x d x = F x + C

Então a integral definida é dada por

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Então vamos lá aplicar isso na nossa questão!!

Passo 2

A nossa integral é:

∫ 0 π sen ⁡ x d x

Usando que a integral

∫ s e n   x d x = - cos ⁡ ( x ) + c

e lembrando que como as integrais são definidas, a gente não usa as constantes temos ∫ 0 π sen ⁡ x d x = ( - cos ⁡ x ) 0 π

Aquele menos que apareceu ali a gente pode inverter os limites de integração:

( - cos ⁡ x ) 0 π =   ( cos ⁡ x ) π 0

Passo 3

Para resolver essas contas que apareceram, a gente usa o teorema fundamental do cálculo. No fundo, o que a gente faz é: o resultado da integral quando x é igual ao termo de cima menos o resultado da integral quando x é igual ao termo de baixo:

∫ 0 π sen ⁡ x d x = cos ⁡ x π 0 = cos ⁡ 0 - cos ⁡ π

= 1 - - 1 = 2

Resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 0 π sen ⁡ x d x = 2

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