Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

Ver Teoria

Enunciado

Se f é uma função contínua e não negativa em [ a , b ] , então a integral ∫ a b f ( x ) d x é exatamente a área da região do gráfico de f e acima do eixo O x . Utilizando o gráfico da função, calcule cada uma das integrais abaixo

b )   ∫ - 2 2 4 - x 2 d x

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem por aí? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos pediu para calcular essa integral aqui

∫ - 2 2 4 - x 2 d x

Mas utilizando o gráfico! Mas como assim?

Isso mesmo! Integrar uma função em um intervalo fechado, digamos [ a , b ] , é equivalente encontrar a área que essa função faz com o eixo horizontal dentro desse intervalo!

Então a ideia aqui é esboçar essa função, que no nosso caso é

f x = 4 - x 2

Entre o intervalo

- 2 ≤ x ≤ 2

E usar as fórmulas de áreas que conhecemos!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = 4 - x 2

Para ter uma ideia do gráfico, vamos substituir f x → y e manipular um tantinho

y = 4 - x 2

y 2 = 4 - x 2

x 2 + y 2 = 4

Agora sim! Essa equação já é mais familiar: é a equação de um círculo centrado na origem e de raio 2 !

y = 4 - x 2 isso significa que queremos só a parte superior da circunferência! Temos um meio círculo!

Então um esboço para a função de x = - 2 até x = 2 está aqui:

Vemos que entre a função verde e o eixo horizontal, temos um semicírculo! No próximo passo vamos calcular essa área!

Bora lá?

Passo 3

Agora vamos calcular a área! A área de um círculo de raio R é

A ∘ = π R 2

Beleza? Nossa área é um semicírculo (metade da área A ∘ ) de raio 2 :

A = π 2 2 2 = 2 π

Tudo bem até aqui? Agora para achar a integral basta igualar à área:

∫ - 2 2 4 - x 2 d x = 2 π

E é isso! Calculamos a integral sem ter usado técnica! Lembrar que a integral é também uma área pode facilitar (e muito) nossa vida!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

2 π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integralint_(pi)^(2 pi) cos theta d theta
Calcule a integralint_0^2 (y - 1) (2 y + 1) d y
Calcule a integralint_0^2 x (2 + x^5) d x
Calcule a integralint_(- 1)^1 e^(u + 1) d u
Calcule a integralint_1^2 (4 + u^2)/(u^3) d u