Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule a integral

∫ - 1 2 x - x 2 d x

E esboce a região cuja área a integral representa.

Passo 1

Vamos começar pensando no desenho desse módulo de parábola. O termo tem duas raízes nos seguintes pontos:

x - x 2 = x 1 - x = 0

x = 0   ; x = 1

Como o termo que multiplica o x 2 é negativo, vemos que essa parábola tem boca para baixo. Nessas condições, vemos que x - x 2 só é positivo entre suas raízes e negativo no resto. Como tratamos do módulo dessa parábola, o gráfico será o oposto da parábola quando ela é negativa e o próprio gráfico quando é positiva:

x - x 2 = x - x 2 ,     0 ≤ x ≤ 1 - x - x 2 ,     x ≤ 0   o u   x ≥ 1

Será algo assim o seu gráfico:

Passo 2

Pela integral pedida, devemos analisar em qual região do domínio encontram-se os limites de integração. A integral pedida vai de - 1,2 , o que significa que passa por duas regiões onde o gráfico é invertido - 1,0   e   1,2 e uma onde é ele mesmo 0,1 :

∫ - 1 2 x - x 2 d x = ∫ - 1 0 - x - x 2 d x + ∫ 0 1 x - x 2 d x + ∫ 1 2 - x - x 2 d x

= - x 2 2 - x 3 3 - 1 0 + x 2 2 - x 3 3 0 1 - x 2 2 - x 3 3 1 2

= - 0 - 1 2 + 1 3 + 1 2 - 1 3 - 0 - 4 2 - 8 3 - 1 2 - 1 3

= 5 6 + 1 6 + 5 6

= 11 6

A integral acaba sendo essa área aqui:

Resposta

∫ - 1 2 x - x 2 d x = 11 6

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