Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

No exercício 1 da lista de exercícios 4.4 fizemos a substituição de variável u   =   1 + l n   x e calculamos a integral indefinida.

∫ 1 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

Calcule agora a integral

∫ 1 2 1 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

de duas

formas:

(1) usando a integral indefinida e substituindo os índices e

(2) reescrevendo a integral definida na variável u.

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos lembrou que na lista 4.4 calculamos essa integral indefinida:

∫ 1 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

Usando essa substituição aqui:

u   =   1 + l n   x

E pediu para calcularmos a mesma integral, mas agora DEFINIDA

∫ 1 2 1 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

E por dois caminhos:

Primeiro utilizando o resultado da integral indefinida: com o resultado na mão, é só substituir os limites de integração dados, fazendo a função aplicada no limite superior menos ela aplicada no limite inferior.

E depois? Depois substituindo os limites de integração direto na integral por substituição em u , fazendo com que nossa integral em u seja definida com os limites apropriados

De qualquer forma, vou resgatar lá da lista o resultado da integral indefinida (já que vamos usar):

∫ 1 3 x 1 + ln ⁡ x d x = 1 3 ln ⁡ 1 + ln ⁡ x + C

Note que quando aplicarmos os limites de integração (seja no final no resultado direto da integral em x , ou antes na integral em u com os valores correspondentes de u para cada x ) aquele + C precisa sair! Isso por porque fazemos sempre a função aplicada no limite superior (que nos daria um + C ) MENOS a função no limite inferior (que nos daria - C ), então essa constante some!

Então a ideia aqui é usar o resultado já calculado e aplicar os limites de integração e duas formas: primeiro na integral em x , lá no final; e em segundo na substituição em u , trocando os limites de integração de u para os valores correspondentes

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Primeira forma: usando o resultado da integração indefinida, aplicando os limites em x no final

Nossa integral é

∫ 1 2 1 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

E usando o resultado temos o seguinte:

∫ 1 2 1 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x = 1 3 ln ⁡ 1 + ln ⁡ x 1 2

Agora nos resta aplicar o resultado no limite superior MENOS no limite inferior:

= 1 3 ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 - 1 3 ln ⁡ 1 + ln ⁡ 1 = 1 3 ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2

Beleza? E é isso!

Passo 3

Agora vamos calcular da segunda forma: na substituição feita, vamos substituir também os limites de integração em u ! E integrar novamente em u ! Nossa integral em x é

∫ 1 2 1 3 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x

E fazendo a substituição

u = 1 + ln ⁡ x

Os limites ficam diferentes! Quando x = 1 :

u = 1 + ln ⁡ 1 = 1

E quando x = 2 :

u = 1 + ln ⁡ 2

Aí nossa integral indefinida que ora tinha ficado assim (resgatando do exercício 4.4 1h)

Agora vai ficar definida com os limites em u correspondentes:

= 1 3 ∫ 1 1 + ln ⁡ 2 d u u

E agora? Agora é só integrar novamente, aplicando no final os limites:

= 1 3 ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 = 1 3 ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2

Volta ali no finalzinho do passo 2 e repara que os resultados são IDÊNTICOS

Exatamente! Fazendo de uma ou de outra forma, o resultado é o mesmo! Então aqui é você quem vai decidir qual jeito funciona melhor para você! #vocêdecide

Agora sim! Terminamos!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

1 3 ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2

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