Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Se f é uma função contínua e não negativa em [ a , b ] , então a integral ∫ a b f ( x ) d x é exatamente a área da região do gráfico de f e acima do eixo O x . Utilizando o gráfico da função, calcule cada uma das integrais abaixo

c )   ∫ - 3 0 1 + 9 - x 2 d x

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem por aí? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos pediu para calcular essa integral aqui

∫ - 3 0 1 + 9 - x 2 d x

Mas utilizando o gráfico! Mas como assim?

Isso mesmo! Integrar uma função em um intervalo fechado, digamos [ a , b ] , é equivalente encontrar a área que essa função faz com o eixo horizontal dentro desse intervalo!

Então a ideia aqui é esboçar essa função, que no nosso caso é

f x = 1 + 9 - x 2

Entre o intervalo

- 3 ≤ x ≤ 0

E usar as fórmulas de áreas que conhecemos!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = 1 + 9 - x 2

Para ter uma ideia do gráfico, vamos substituir f x → y e manipular um tantinho

y = 1 + 9 - x 2

( y - 1 ) 2 = 9 - x 2

x 2 + ( y - 1 ) 2 = 9

Agora sim! Essa equação já é mais familiar: é a equação de um círculo centrado em ( 0,1 ) e de raio 9 = 3 !

y = 1 + 9 - x 2 isso significa que queremos só a parte superior da circunferência! Temos um meio círculo!

Então um esboço para a função de x = - 3 até x = 0 está aqui:

Vemos que entre a função verde até a linha horizontal imaginária y = 1 , temos um quarto de círculo! E embaixo dele? Um retângulo! No próximo passo vamos calcular essa área!

Bora lá?

Passo 3

Agora vamos calcular a área! Começando pelo pedaço do círculo:

A área de um círculo é

A ∘ = π R 2

Beleza? Nossa área é um quarto de um círculo e tem raio 3 :

A = π 3 2 4 = 9 π 4

Tudo bem até aqui?

Agora vamos ao retângulo!

Ele tem base 3 e altura 1 :

A = b × h = 3.1 = 3

Agora para achar a integral basta igualar à soma das áreas:

∫ - 3 0 1 + 9 - x 2 d x = 9 π 4 + 3

E é isso! Calculamos a integral sem ter usado técnica! Lembrar que a integral é também uma área pode facilitar (e muito) nossa vida!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

9 π 4 + 3

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