Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

Ver Teoria

Enunciado

Considere a função g x = ∫ 4 x 2 s e n 2 π t d t . Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto 2 ,   g 2 .

Passo 1

Amigx, eu vou começar sem bem sincero com você, eu não faço a menor ideia de como resolve essa integral aí.... Mas por sorte, a gente não precisa desse resultado. Observa comigo:

g x = ∫ 4 x 2 s e n 2 π t d t

Isso vai nos resultar em uma função qualquer, né? No caso a primitiva. Vamos chamar essa primitiva de L x

Então, o resultado dessa integral ai vai ser:

g x = L x 2 - L ( 4 )

Passo 2

A fórmula da reta tangente nós sabemos que é:

y - g x 0 = g ' x 0 x - x 0

Como o enunciado nos pede no ponto 2 ,   g 2 , sabemos entçao que o x 0 = 2

y - g 2 = g ' 2 x - 2

Calculando entçao g 2 temos:

g x = L x 2 - L ( 4 )

g 2 = L 2 2 - L 4 = L 4 - L 4 = 0

Maravilha!

Passo 3

Precisamos agr do g ' x

Se sabemos que g x = L x 2 - L ( 4 )

Então derivando (lembrando de usar a regra da cadeia na derivação) :

g ' x = L ' x 2 2 x - 0

Lembre ainda que g ' ( x ) é a derivada de uma integral, então teremos:

g x = ∫ 4 x 2 s e n 2 π t d t

g ' x = 2 x s e n 2 π x 2  

Queremos para a fórmula da reta tangente o g ' 2

g ' 2 = 2.2 s e n 2 π 4 = 4 × 1 = 4

A equação da reta fica então:

y - g 2 = g ' 2 x - 2

y - 0 = 4 x - 2

y = 4 x - 8

Resposta

y = 4 x - 8

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integralint_(pi)^(2 pi) cos theta d theta
Calcule a integralint_0^2 (y - 1) (2 y + 1) d y
Calcule a integralint_0^2 x (2 + x^5) d x
Calcule a integralint_(- 1)^1 e^(u + 1) d u
Calcule a integralint_1^2 (4 + u^2)/(u^3) d u