Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

Ver Teoria

Enunciado

Calcule as integrais definidas abaixo. Sugestão: você já resolveu essas integrais indefinidas no exercício 2 da lista de exercícios 4.6

e )   ∫ 0 1 x 3 4 + x 2 d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos lembrou que na lista 4.6 calculamos essa integral indefinida:

∫ x 3 4 + x 2 d x

Usando o método de integração por partes, com

u   = x 2

d v = x 4 + x 2 d x

E pediu para calcularmos a mesma integral, mas agora DEFINIDA

∫ 0 1 x 3 4 + x 2 d x

Mas calma! Não vamos precisar calcular tudo novamente! Podemos resgatar o resultado já pronto!

Então a ideia aqui é usar o resultado já calculado e aplicar os limites de integração! Lembrando que aplicar os limites de integração significa: o resultado aplicado no limite superior MENOS o resultado aplicado no limite inferior

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Resgatando o resultado (k) da lista 4.6:

∫ x 3 4 + x 2   d x = x 2 4 + x 2   - 2 3 x 2 + 4 3 + C

E podemos usar esse resultado (desconsiderando aquele +C no final, claro) para calcular a integral definida de agora:

∫ 0 1 x 3 4 + x 2 d x = x 2 4 + x 2   - 2 3 x 2 + 4 3 0 1

Agora é só aplicar os limites!

∫ 0 1 x 3 4 + x 2 d x = 4 + 1   - 2 3 1 + 4 3 - 0 . 4   - 2 3 4 3

E agora simplificando nosso resultado:

∫ 0 1 x 3 4 + x 2 d x = 5 - 2 3 5 + 2 3 64  

∫ 0 1 x 3 4 + x 2 d x = 1 3 5 + 16 3

∫ 0 1 x 3 4 + x 2 d x = 16 + 5 3

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 0 1 x 3 4 + x 2 d x = 16 + 5 3

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integralint_(pi)^(2 pi) cos theta d theta
Calcule a integralint_0^2 (y - 1) (2 y + 1) d y
Calcule a integralint_0^2 x (2 + x^5) d x
Calcule a integralint_(- 1)^1 e^(u + 1) d u
Calcule a integralint_1^2 (4 + u^2)/(u^3) d u