Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

1) Calcule as integrais definidas abaixo.

a) ∫ - 2 0 ( 2 x + 5 ) d x

Passo 1

Fala aí pessoal! Tudo bem? Esse exercício está pedindo para a gente resolver essa integral aqui:

∫ - 2 0 ( 2 x + 5 ) d x

A ideia é a seguinte, primeiro a gente percebe que essa integral tem uns limites de integração que são aquele 0 e - 2 que aparecem naquela cobrinha da integral. Isso nos diz que temos uma integral definida e a maneira que a gente resolve é usando o teorema fundamental do cálculo: Se sabemos a integral de uma função:

∫ f x d x = F x + C

Então a integral definida é dada por

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Então vamos lá aplicar isso na nossa questão!!

Passo 2

A nossa integral é:

∫ - 2 0 ( 2 x + 5 ) d x

Podemos usar as propriedades das integrais e escrever:

∫ - 2 0 ( 2 x + 5 ) d x =   ∫ - 2 0 2 x d x +   ∫ - 2 0 5 d x = 2 ∫ - 2 0 x d x +   5 ∫ - 2 0 d x

Aquelas integrais que apareceram a gente usa:

∫ x d x = x 2 2 + c ∫ d x = x + c

Mas olha só, como as integrais são definidas, a gente não usa as constantes ∫ - 2 0 ( 2 x + 5 ) d x = 2 . x 2 2 - 2 0 + 5 [ x ] - 2 0  

Ou, simplificando:

x 2 - 2 0 + 5 x - 2 0

Passo 3

Para resolver essas contas que apareceram, a gente usa o teorema fundamental do cálculo. No fundo, o que a gente faz é: o resultado da integral quando x é igual ao termo de cima menos o resultado da integral quando x é igual ao termo de baixo:

∫ - 2 0 2 x + 5 d x =   x 2 - 2 0 + 5 x - 2 0 = 0 2 - - 2 2 + 5 . 0 - 5 . - 2 =   - 4 + 10 = 6 Resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

∫ - 2 0 2 x + 5 d x =   6

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