Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral.

g) ∫ 0 1 1 1 + x 2 d x

Passo 1

Faaala galerinha 😊, nesse exercício vamos conversar um pouco sobre integrais definidas simples.

Para o teorema fundamental do cálculo, vamos procurar uma função primitiva para nosso problema. A função 1 1 + x 2 possui uma primitiva bastante recorrente, sendo a r c t g x + C . No entanto, podemos provar isso a partir de uma simples substituição:

x = t g ( u ) ; d x = s e c ² ( u ) d u

Lembremos de antemão que s e c 2 u = 1 + t g ² ( u ) , algo que pode ser provado por relações trigonométricas fundamentais, mas não vamos focar nisso agora porque não é importante para essa questão, mas fica aí o lembrete pras próximas, fechou? Continuando agora substituindo pela relação de u   d u .

∫ 1 1 + x 2 d x = ∫ s e c ² ( u ) 1 + t g ² ( u ) d u = ∫ s e c ² ( u ) s e c ² ( u ) d u = u + C

Ora, se x = t g u ,   u = a r c t g ( x ) . Isso a gente lembra rapidinho quando voltamos da substituição para a equação original. Portanto, a primitiva é de fato a r c t g x + C .

Passo 2

Agora só precisamos resolver a integral:

∫ 0 1 1 1 + x 2 d x = a r c t g 1 - a r c t g 0 = π 4 - 0 = π 4

E é isso pessoal 😉

Resposta

π 4

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