Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Se f é uma função contínua e não negativa em [ a , b ] , então a integral ∫ a b f ( x ) d x é exatamente a área da região do gráfico de f e acima do eixo O x . Utilizando o gráfico da função, calcule cada uma das integrais abaixo

a )   ∫ - 4 2 x d x

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar!

O problema nos pediu para calcular essa integral aqui

∫ - 4 2 x d x

Mas utilizando o gráfico! Mas como assim?

Isso mesmo! Integrar uma função em um intervalo fechado, digamos [ a , b ] , é equivalente encontrar a área que essa função faz com o eixo horizontal dentro desse intervalo!

Então a ideia aqui é esboçar essa função, que no nosso caso é

f x = | x |

Entre o intervalo

- 4 ≤ x ≤ 2

E usar as fórmulas de áreas que conhecemos!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x = - x ,   s e   x < 0 x ,   s e   x > 0

A função módular é definida por partes: ambas partes são retas, mas para valores negativos de x é uma reta decrescente e para x > 0 , crescente

Então um esboço para a função módulo de x = - 4 até x = 2 está aqui:

Vemos que entre a função verde e o eixo horizontal, temos dois triângulos! No próximo passo vamos calcular essa área!

Bora lá?

Passo 3

4 e altura também 4 :

Aí a área é:

A = b × h 2 = 4.4 2 = 8

Beleza? Agora a área mais à direita:

Esse triângulo tem base 2 e altura também 2 :

A = 2.2 2 = 2

Tudo bem até aqui? Agora para achar a integral basta somar as duas áreas:

∫ - 4 2 x d x = 8 + 2 = 10

E é isso! Calculamos a integral sem ter usado técnica! Lembrar que a integral é também uma área pode facilitar (e muito) nossa vida!

Espero ter ajudado! Até a próxima!

Resposta

10

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