Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule as integrais definidas abaixo. Sugestão: veja que todas as integrais indefinidas necessárias já foram calculadas no exercício 7 da lista de exercícios 4.2

e )   ∫ 0 π / 4 2   s e n x - 3 cos ⁡ x + sec 2 ⁡ x 7   d x

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Essa questão é da lista 4.3 e pergunta para calcular essa integral aqui:

∫ 0 π / 4 2   s e n x - 3 cos ⁡ x + sec 2 ⁡ x 7   d x

e foi dado uma sugestão: que usássemos o resultado da integral indefinida no exercício 7 da lista 4.2

Bom, mas o que uma coisa tem a ver com a outra? É que a integral indefinida não tem limites de integração. Já a integral definida tem limites, e após integrar a função (com as técnicas que já vimos na lista 4.2) precisamos substituir os limites no resultado que encontramos

Por exemplo, digamos que F é a primitiva da função f , e queremos saber a integral de f no intervalo fechado [ a , b ] :

∫ a b f ( x ) d x = F a - F ( b )

Tudo bem até aqui?

Então a ideia é resgatar o resultado da integral indefinida lá do exercício 7 da lista 4.2 e aplicar os limites de integração dados! Lembrando que o resultado é a primitiva aplicada no limite superior menos no limite inferior!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Resgatando o resultado da questão 7(f) da lista 4.2:

A integral definida que queremos calcular é

∫ 0 π / 4 2   s e n x - 3 cos ⁡ x + sec 2 ⁡ x 7   d x

Então vamos usar o resultado obtido (retirando aquele “ + C ” do final, porque estamos calculando uma integral definida) e aplicar nos limites de integração:

∫ 0 π / 4 2   s e n x - 3 cos ⁡ x + sec 2 ⁡ x 7   d x

= - 2 cos ⁡ x - 3 s e n   x + t g x 7 0 π / 4

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos aplicar os limites:

∫ 0 π / 4 2   s e n x - 3 cos ⁡ x + sec 2 ⁡ x 7   d x

= - 2 cos ⁡ π 4 - 3 s e n π 4 + t g π 4 7 - - 2 cos ⁡ 0 - 3 s e n   0 + t g 0 7

= - 2   2 2 - 3 2 2 + 1 7 - - 2 = - 5 2 + 15 7

Beleza? E é isso! O resultado dessa integral definida é - 5 2 + 15 7 !

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

- 5 2 + 15 7

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