Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Suponha que a velocidade mínima para que um objeto escape da força gravitacional da Terra seja dada por

∫ v d v   =   - M G ∫ 1 x ² d x ,

∫ v d v =   - M G ∫ 1 x 2 d x

onde M representa a massa da Terra, G a constante gravitacional de e x a distância até o centro da Terra. Considere que no instante inicial x   =   R , R o raio da Terra, e mostre que v e x estão relacionados pela equação

v ²   =   v 0 ² +   2 M G ( 1 x   - 1 R ) ,

onde   v 0 é a velocidade inicial.

Passo 1

Oi pessoal, como vão?? Me contaram aqui que vocês estão suuuper animados com essa resolução, felizes pra caramba, como nunca estiveram!!

Não quero saber de desânimo!! Bora transformar ela em algo legal e mais atrativo? hahahaha a gente consegue, acreditem!! Bora lá!!

Bom a nossa questão nos deu que a velocidade mínima para que um objeto escape da Terra é

∫ v d v   =   - M G ∫ 1 x ² d x ,

E deseja que mostremos como v   e   x podem estar relacionados pela equação. E aí, como podemos resolver esse probleminha???

Passo 2

Bom primeiro vamos começar a manipular a integral que representa a velocidade mínima de escape.

∫ v d v   =   - M G ∫ 1 x ² d x

v ² 2   =   - M G ( x - 2 + 1 - 2 + 1 )   =   M G x

v ²   =   2 M G x

Passo 3

Bom agora vamos comparar nossa fórmula obtida no passo anterior com uma fórmula famosa que você já deve ter ouvido falar, fórmula de Torricelli:

v ²   =   v 0 ²   + 2 a △ S

Como a fórmula de Torricelli não possui tempo e é indicada para o movimento uniformemente variável super cabe a comparação com a situação do nosso problema, inclusive essa fórmula é super indicada para a análise da velocidade mínima de escape.

v ²   =   2 M G x         ( I )

v ²   =   v 0 ²   + 2 a △ S             ( I I )

Supõe-se que um objeto com velocidade inicial igual a 0 vá para a superfície terrestre, além disso sabe-se que a gravidade na superfície da Terra é dada por g   =   G M R ² , utilizando ( I I ) , temos

v ²   =   0   +   2   G M R ² R   =   2 G M R   ( I I I )

Como ( I I )   e   ( I I I ) devem coincidir, e sabendo que Δ S   =   S   -   S 0 , podemos afirmar que

2 M G   Δ S = 2 M G ( 1 x - 1 R )  

Passo 4

Assim, é possível afirmar que v   e   x se relacionam a partir da equação:

v ²   =   v 0 ² +   2 M G ( 1 x   - 1 R )

Consegui te ajudar? Espero que sim!

Beijinhos e até mais! :)

Resposta

Resolução nos passos acima

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