Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

1) Calcule as integrais definidas abaixo.

b) ∫ 1 32 x - 6 / 5 d x

Passo 1

Fala aí pessoal! Tudo bem? Esse exercício está pedindo para a gente resolver essa integral aqui:

∫ 1 32 x - 6 / 5 d x

A ideia é a seguinte, primeiro a gente percebe que essa integral tem uns limites de integração que são aquele 1 e 32 que aparecem naquela cobrinha da integral. Isso nos diz que temos uma integral definida e a maneira que a gente resolve é usando o teorema fundamental do cálculo: Se sabemos a integral de uma função:

∫ f x d x = F x + C

Então a integral definida é dada por

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Então vamos lá aplicar isso na nossa questão!!

Passo 2

A nossa integral é:

∫ 1 32 x - 6 / 5 d x

Usando que a integral

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

quando   n ≠ - 1 e lembrando que como as integrais são definidas, a gente não usa as constantes temos ∫ 1 32 x - 6 / 5 d x = x - 6 5 + 1 - 6 5 + 1   1 32

Abrindo aquelas somas que apareceram:

∫ 1 32 x - 6 / 5 d x =   - 5 x - 1 5 1 32

Aquele menos que apareceu ali a gente pode inverter os limites de integração:

  - 5 x - 1 5 1 32 =   5 x - 1 5 32 1

Simplificando um pouco temos:

∫ 1 32 x - 6 / 5 d x   = 5 x 1 5 32 1

Passo 3

Para resolver essas contas que apareceram, a gente usa o teorema fundamental do cálculo. No fundo, o que a gente faz é: o resultado da integral quando x é igual ao termo de cima menos o resultado da integral quando x é igual ao termo de baixo:

∫ 1 32 x - 6 5 d x = 5 1 1 5 - 5 32 1 5

Como 32 = 2 5 temos:

∫ 1 32 x - 6 5 d x = 5 - 5 2 5 1 5 = 5 - 5 2 = 5 2

Resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

∫ 1 32 x - 6 5 d x = 5 2

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