Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

Calcule a integral.

0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número! Já sabemos que temos que encontrar a primitiva dessa função e depois aplicar os limites de integração. Show, então vamos lá.

A primeira coisa a notar é que essa integral é uma soma de duas funções, então podemos reescrever para:

0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   0 1 e x d x + 0 1 1 x 2 + 1 d x

Então vamos fazer uma coisa de cada vez pra não nos embolarmos, primeiro uma integral, depois a outra. Vamo que vamo:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na primeira integral, resolvemos diretamente se lembrarmos da regrinha

e x d x = e x + C

Essa é a famosa função que é igual à sua integral e a sua derivada

Nesse caso, como a integral é definida, nem esquenta a cabeça com + C , ok? A primitiva dessa função vai ser só ela mesma:

e x d x = e x = F x

E como a integral é definida:

0 1 e x d x = F 1 - F 0

0 1 e x d x = e 1 - e 0 =   e - 1

Passo 3

A segunda integral também tiramos de letra se lembrarmos da regrinha:

1 x 2 + 1 d x = arctan x + C

Como a integral é definida:

0 1 1 x 2 + 1 d x = F 1 - F 0

0 1 1 x 2 + 1 d x = arctan 1 - arctan 0 = π 4 - 0 = π 4

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro, só juntar os resultados todos, achamos que:

0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   0 1 e x d x + 0 1 1 x 2 + 1 d x

E que:

0 1 e x d x =   e - 1

0 1 1 x 2 + 1 d x = π 4

Então a integral definida tem o valor:

0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   e - 1 + π 4

Resposta

0 1 e x + 1 x 2 + 1 d x =   e - 1 + π 4

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas