Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule a integral.

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número! Já sabemos que temos que encontrar a primitiva dessa função e depois aplicar os limites de integração. Show, então vamos lá.

A primeira coisa a notar é que essa integral é uma soma de duas funções, então podemos reescrever para:

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x =   ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 0 1 sinh ⁡ x d x

Então vamos fazer uma coisa de cada vez pra não nos embolarmos, primeiro uma integral, depois a outra. Vamo que vamo:

Passo 2

Na primeira integral, resolvemos diretamente se lembrarmos da regrinha

∫ a x d x = a x ln ⁡ a + C

Nesse caso, como a integral é definida, nem esquenta a cabeça com + C , ok? A primitiva dessa função vai ser então:

∫ 2 x d x = 2 x ln ⁡ 2 = F x

E como a integral é definida:

∫ 0 1 2 x d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 2 x d x = 2 1 ln ⁡ 2 - 2 0 ln ⁡ 2 =   2 - 1 ln ⁡ 2 = 1 ln ⁡ 2

Passo 3

A segunda integral também tiramos de letra se lembrarmos da regrinha:

∫ sinh ⁡ x d x = cosh ⁡ x + C

Como a integral é definida:

∫ 0 1 sinh ⁡ x d x = F 1 - F 0

∫ 0 1 sinh ⁡ x d x = cosh ⁡ 1 - cosh ⁡ 0

Como:

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Temos:

cosh ⁡ 1 = e 1 + e - 1 2 = e + 1 e 2 = e 2 + 1 2 e

cosh ⁡ 0 = e 0 + e 0 2 = 1 + 1 2 = 2 2 = 1 = 2 e 2 e  

Fechamos então a integral definida:

∫ 0 1 sinh ⁡ x d x = e 2 + 1 2 e - 2 e 2 e = e 2 - 2 e + 1 2 e

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro, só juntar os resultados todos, achamos que:

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x =   ∫ 0 1 2 x d x + ∫ 0 1 sinh ⁡ x d x

E que:

∫ 0 1 2 x d x = 1 ln ⁡ 2

∫ 0 1 sinh ⁡ x d x = e 2 - 2 e + 1 2 e

Então a integral definida tem o valor:

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x =   1 ln ⁡ 2 + e 2 - 2 e + 1 2 e

Resposta

∫ 0 1 ( 2 x + sinh ⁡ x ) d x =   1 ln ⁡ 2 + e 2 - 2 e + 1 2 e

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