Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo – Integral Definida

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Enunciado

Calcule a integral.

∫ - 1 2 ( x - 2 x ) d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcularmos a integral definida. Ou seja, o resultado deve ser um número! Já sabemos que temos que encontrar a primitiva dessa função e depois aplicar os limites de integração, segundo o nosso querido teorema da variação total

Você, pequeno gafanhoto, estava tranquilo para achar a primitiva dessa função, até que reparou que tem um módulo ali!

Muito marotamente, você deve ter ido buscar na sua colinha de integrais imediatas onde estava a primitiva de | x | e... surpreeeesa! Não achou. Depois do seu mini ataque cardíaco, recomponha-se e vem entender aqui comigo porque eu não te dei a primitiva de | x | pronta.

Sempre que você se deparar com uma função que tenha módulo, independente do que tiver dentro do módulo (pode ser só um x zinho que não faz mal a ninguém até um monstro, pense na definição de módulo!

Olha aqui:

x = x ,     p a r a   x ≥ 0 - x ,             p a r a   x < 0

Atente-se que vamos usar isso aí para resolver essa integral!

Passo 2

Na situação em que x ≥ 0 , o módulo de x se veste de x e nas situações em que x < 0 , o módulo de x se veste de - x .

Você precisa saber em que situação ele estará e aí dependendo da situação , substituí-lo por x ou - x .

Agora observa que os limites de integração da integral são - 1 e 2 . Sabe o que isso significa?

Que no intervalo de - 1 a 0 , | x | “se veste” de - x , porque nesse intervalo x < 0 , certo?

Mas no intervalo de 0 a 2 , | x | “se veste” de x , porque nesse intervalo x ≥ 0 !

Isso significa que em cada “pedaço” do intervalo de integração a função do integrando se comportará diferente! E aí? Como eu resolvo isso? Como eu consigo contemplar esses diferentes comportamentos dependendo do intervalo de integração?

Lançando mão daquela propriedade irada de integrais definidas que me permite dividir os limites de integração em dois intervalos:

∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x

Nesse caso, queremos dividir o intervalo - 1 a 2 nos intervalos - 1 a 0 e 0 a 2 , concorda? Porque aí sabemos qual roupa o | x | está usando em cada situação:

∫ - 1 2 x - 2 x d x = ∫ - 1 0 x - 2 x d x + ∫ 0 2 ( x - 2 x d x

Como entre - 1 e 0 x =   - x , substituímos x por – x na primeira integral. Já entre 0 e 2 x =   x , então substituímos x por x na segunda integral

∫ - 1 2 x - 2 x d x = ∫ - 1 0 x - 2 . - x d x + ∫ 0 2 ( x - 2 ( + x ) d x

∫ - 1 2 x - 2 x d x = ∫ - 1 0 x + 2 x d x + ∫ 0 2 ( x - 2 x d x

Você verá que as integrais resultantes são muito simples de resolver.

∫ - 1 0 ( 3 x ) d x + ∫ 0 2 - x d x

= ∫ - 1 0 3 x d x - ∫ 0 2 x d x

Passo 3

Pronto! Temos integrais de polinômios, super amigáveis!

Resolvendo a primeira integral:

∫ - 1 0 3 x d x = 3 2 x 2 - 1 0

= 3 2 ⋅ 0 2 - 3 2 ⋅ - 1 2 =   - 3 2

Resolvendo a segunda integral:

∫ 0 2 x d x = 1 2 x 2 0 2

= 1 2 ⋅ 2 2 - 1 2 ⋅ 0 2

1 2 . 4 = 2

Juntando as duas:

= ∫ - 1 0 3 x d x - ∫ 0 2 x d x =   - 3 2 - 2

= - 7 2

Pronto! Adimite que você curtiu, vai?

Resposta

∫ - 1 2 ( x - 2 x ) d x = - 7 2

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