Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 1, Questão 13

Passo 1

Nesse caso, precisamos dividir a integral em duas partes para ter uma constante no limite de integração inferior. Podemos usar, por exemplo o 0 .

∫ - s e n 2 x x 4 cos ⁡ t 3 d t = ∫ 0 x 4 cos ⁡ t 3 d t   + ∫ - s e n 2 x 0 cos ⁡ t 3 d t

E precisamos usar aquela propriedade para que - s e n 2 x seja limite superior

∫ - s e n 2 x x 4 cos ⁡ t 3 d t = ∫ 0 x 4 cos ⁡ t 3   d t - ∫ 0 - s e n 2 x cos ⁡ t 3 d t

Já sabemos também que

∫ 0 - s e n 2 x cos ⁡ t 3   d t = - ∫ 0 s e n 2 x cos ⁡ t 3   d t

Então temos que

∫ - s e n 2 x x 4 cos ⁡ t 3 d t   = ∫ 0 x 4 cos  t 3  dt ⁡ + ∫ 0 s e n 2 x cos ⁡ t 3 d t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já resolvemos os problemas dos limites, para encontrar a derivada f ' ( x ) temos que usar a regra da cadeia. Primeiro substituímos a variável t por x 4 na primeira integral e por s e n 2 x na segunda. Depois, multiplicamos pelas derivadas.

∫ 0 x 4 cos ⁡ t 3 ' = cos ⁡ x 4 3 ⋅ x 4 '       →

∫ 0 x 4 cos ⁡ t 3 ' = 4 x 3 cos ⁡ x 12

E para a segunda integral

∫ 0 s e n 2 x cos ⁡ t 3 d t ' = cos ⁡ s e n 2 x 3   .   s e n 2 x '     →

∫ 0 s e n 2 x cos ⁡ t 3 d t ' = cos ⁡ s e n 6 x . 2 sen ⁡ x cos ⁡ x →

Como 2 s e n ⁡ x cos ⁡ x = sen ⁡ 2 x pelo seno de duplo arco ganhamos...

∫ 0 s e n 2 x cos ⁡ t 3 d t ' = cos ⁡ s e n 6 x sen ⁡ 2 x

Passo 3

Por fim, somamos as duas derivadas para obter f ' ( x )

f ' x = 4 x 3 cos ⁡ x 12 + cos ⁡ s e n 6 x .   s e n 2 x    

Resposta

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