Encontre o limite:

lim h → 0 ⁡ 1 h ∫ 2 2 + h 1 + t 3 d t

Passo 1

Olha o que acontece se a gente substitui o limite:

lim h → 0 ⁡ ∫ 2 2 + h 1 + t 3 d t h = ∫ 2 2 1 + t 3 d t 0

= 0 0

A integral ali zera por que os limites de integração são iguais quando h = 0 . Agora vamos usar a Regra de L’Hospital para fugir dessa indeterminação, lembrando que para a derivada de cima devemos usar o Teorema Fundamental:

lim h → 0 ⁡ ∫ 2 2 + h 1 + t 3 d t h = lim h → 0 ⁡ 1 + 2 + h 3 ( 2 + h ) ' h '

= lim h → 0 ⁡ 1 + 2 + h 3

= 1 + 2 + 0 3

= 1 + 8 = 9

= 3

Resposta

lim h → 0 ⁡ 1 h ∫ 2 2 + h 1 + t 3 d t = 3

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