Se f for uma função contínua tal que

∫ 0 x f t d t = x e 2 x + ∫ 0 x e - t f t d t

Para todo x , ache a fórmula para f e calcule f ( 1 ) .

Passo 1

Tudo na tranquilidade aí galerinha!?

Vamos precisar aqui usar o Teorema fundamental do cálculo, você se lembra dele? Ele diz isso aqui ó:

g x = ∫ 0 x f t d t

g ' x = f ( x )

Presta sempre atenção que o limite superior precisa ser uma função x , beleza?

Passo 2

A partir do Teorema Fundamental do Cálculo podemos dizer que o que está do nosso lado direito da igualdade lá do enunciado representaria nossa g ' ( x ) , ou seja, se quisermos encontrar f ( x ) , basta vermos que ela deve ser igual a:

f x = x e 2 x + ∫ 0 x e - t f ( t ) d t

Analogamente ao que fizemos falamos no início, podemos denotar que essa integral que aparece ali pode ser reescrita como sendo:

∫ 0 x e - t f t d t = h t

h x ' = f x

A partir disso, temos que:

f x = x e 2 x + e - x

Passo 3

Agora a gente só precisa calcular o valor de f 1 :

f 1 = e 2 + 1 e

f 1 = e 3 + 1 e

Resposta

f x = x e 2 x + e - x

f 1 = e 3 + 1 e

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