Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

USP, Cálculo 1, P3 - 2018, Questão ME04

ME04) Seja f : [ 1 , + [ I R uma função contínua cujo gráfico está representado abaixo:

Considere as informações sobre a função:

F x = 1 x f t   d t

Com x   [ 1 , + [ :

  1. F é crescente em 1,2 e decrescente em [ 2 , + [
  2. F é contínua, mas não é derivável
  3. lim x + F x = -

É correto dizer que:

  1. As afirmações I e I I I são verdadeiras
  2. Todas as afirmações são verdadeiras
  3. As afirmações I e I I são verdadeiras
  4. Todas as afirmações são falsas
  5. As afirmações I I e I I I são verdadeiras

Passo 1

A primeira coisa a se notar nessa questão é que muitas informações sobre a natureza de F x estão sendo pedidas. Apesar de não sabermos exatamente quem é F x , se conhecermos sua primeira derivada, podemos conversar sobre invervalos de crescimento e decrescimento. Seja a Teorema Fundamental do Cálculo dado por:

F x = a h x f t d t

F ' x = f h x h ' x

Para:

h x = x

a = 1

Vamos ter:

F ' x = f x x '

F ' x = f x

E usando isso, respondemos a questão. Vamos ver cada uma das afirmativas então, beleza?

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Passo 2

F é crescente em 1,2 e decrescente em [ 2 , + [

Veja bem, como:

F ' x = f x

E o sinal da primeira derivada indica a inclinação da reta tangente, se olharmos com calma o gráfico do enunciado, vemos que em 1,2

f x > 0

E que em [ 2 , + [ :

f x < 0

Como inclinação positiva quer dizer função crescente e inclinação negativa quer dizer função decrescente, então a afirmativa está corretíssima. Bora pra próxima:

Passo 3

F é contínua, mas não é derivável

Novamente a gente vai usar:

F ' x = f x

Saca só, como f x é contínua em todo ponto, vídeo gráfico, então F ' x também é contínua em todo ponto. Se a derivada de F x é uma função contínua em todos os pontos, então F x é diferenciável com certeza e, por consequência, se F x é diferenciável então F x é contínua. Isso tudo nos mostra que dessa vez a afirmativa foi falsa! Bora pra última então:

Passo 4

lim x + F x = -

Agora pra fechar com chave de ouro, vamos ver a última afirmativa. Usando pela última vez:

F ' x = f x

E olhando o gráfico, a gente bem vê que:

lim x + F ' x = lim x + f x = - 0,5 < 0

E como F ' x nos dá a inclinação da reta tangente de F x , como no limite x + essa inclinação tende a um número negativo, é como se F x fosse decrescente pra sempre nesse limite. Opa, já que é assim, essa afirmativa é verdadeira!

Como as afirmativas I e I I I são verdadeiras, a resposta vai ser a letra A

Resposta

L e t r a   A

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