Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada da função

y = ∫ arctg ⁡ x 1 t + t d t

Justifique seu trabalho.

Passo 1

Vamos reescrever a função assim:

y x = - ∫ 1 arctg ⁡ x t + t d t

Pronto, agora o limite de integração inferior que é uma constante, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo!

Passo 2

Usando o TFC e a regra da cadeia, temos que:

y ' x = - arctg ⁡ x + arctg ⁡ x . arctg ⁡ x '

⇒ y ' x = - arctg ⁡ x + arctg ⁡ x 1 + x 2

Resposta

y ' x = - arctg ⁡ x + arctg ⁡ x 1 + x 2

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