1. Define a função g x = ∫ 0 x f t d t onde f(x) é uma função definida por partes.

f x = { 0 ,     x < 0   x ,     0 ≤ x ≤ 1   2 - x ,     1 < x ≤ 2   0 ,     x > 2  

  1. Dê uma definição de g ( x ) por partes.

Passo 1

Fala galera, 😁😁. Nessa questão vamos lidar com integrais definidas e com o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).

Do comecinho, para a integral indefinida de uma função, temos que achar g ( x ) tal que:

∫ f ( x ) d x = g ( x )

g ( x ) ’ = f ( x )

De forma que, segundo o TFC, as integrais definidas podem ser escritas como:

∫ a b f ( x ) d x = g b - g ( a )

Show, então basicamente o TFC nos facilita a encontrar uma integral por outras formas. Nesse caso, sabemos que a derivada de um polinômio é:

( x n ) ' = n ( x n - 1 )

Então, para integrarmos fazemos o processo reverso e encontramos a função primitiva:

1 n + 1 x n + 1

E de fato, se derivarmos:

1 n + 1 x n + 1 ' = n + 1 n + 1 x ( n + 1 ) - 1 =   x n

Então tá aí, provado o método e encontrado a primitiva. Agora bora resolver a integral.

Passo 2

Vamos agora observar a função que nos foi fornecida.

Definir g ( x ) por partes, significa escrevê-la da forma como f ( x ) foi escrita, ou seja, para cada intervalo delimitado, devemos integrar f conforme descrito no enunciado e assim, obter o g correspondente.

Assim, para x < 0

g x = ∫ 0 x 0 d t = 0

Para 0 ≤ x ≤ 1

g x = ∫ 0 x t d t = t 2 2 t = 0 t = x = x 2 2  

Para 1 < x ≤ 2

g x = ∫ 0 x ( 2 - t ) d t = 2 t - t 2 2 t = 0 t = x = 2 x - x 2 2

Para x > 2

g x = ∫ 0 x 0 d t = 0

Passo 3

Agora, juntamos todas as partes e temos a expressão completa de g

g x = { 0 ,     x < 0   x 2 2 ,     0 ≤ x ≤ 1   2 x - x 2 2 ,     1 < x ≤ 2   0 ,     x > 2  

Por hoje é isso pessoal, até a próxima😉

Resposta

  1. g x = { 0 ,     x < 0   x 2 2 ,     0 ≤ x ≤ 1   2 x - x 2 2 ,     1 < x ≤ 2   0 ,     x > 2  

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