3.b) Considere a função

g x = ∫ 0 2 x cos ⁡ t 2 d t

E seja h x = x + 1 g x . Determine h ' 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão nos deram uma função g x que é a resultante da integral

g x = ∫ 0 2 x cos ⁡ t 2 d t

Também nos disseram que uma outra função h x é dada por h x = x + 1 g x

Com isso, nosso objetivo é calcular a derivada de h x no ponto x = 0 .

E aí! Como fazemos isso? 🤔

Lembrando do teorema fundamental do cálculo, a derivada de uma integral resulta na função de integração. Mas quando temos limites de integração de uma função do tipo

p x = ∫ a q x f t d t = F q x - F a

Onde a se é uma constante, F a também é uma constante e sua derivada é dada por

p ' x = d p x d x = d F q x d x

E como F q x é uma função composta, aplicamos a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora substituindo q x por u ).

p ' x = d q x d x · d F u d u

Como F u é a integral de f t com q x substituído por u , a derivada de F u é dada por

p ' x = d q x d x · f q x

Com isso em mente, podemos começar nosso problema! Bora? 👀

Passo 2

Se h x = x + 1 g x , para calcular a derivada de h x , vamos aplicar a regra do produto e considerar a derivada de g x como g ' x .

A regra do produto consiste em calcular a derivada da primeira função, multiplicar pela segunda e somar com a derivada da segunda função multiplicada pela primeira função. Entendeu alguma coisa? 👀

Na prática fica assim, olha só

h ' x = d x + 1 d x · g x + x + 1 · g ' x

Pelo método de derivação polinomial, vemos que a derivada de x + 1 resulta em

d x + 1 d x = 1 x 1 - 1 1 0 = 1

Portanto

h ' x = g x + x + 1 · g ' x

Para x = 0 , que é o ponto que estamos interessados, temos

h ' 0 = g 0 + 0 + 1 · g ' 0

h ' 0 = g 0 + g ' 0

Então agora nossa missão será obter g 0 e g ' 0 !

Tranquilo até aqui? 👍

Passo 3

Vamos começar por g 0 ! Nesse caso, se substituirmos x por 0 em g x , vamos obter

g x = ∫ 0 2 x cos ⁡ t 2 d t

g 0 = ∫ 0 2 0 cos ⁡ t 2 d t = ∫ 0 0 cos ⁡ t 2 d t

Observe os limites de integração, estamos integrando cos ⁡ t 2 de 0 para 0 , portanto, essa integral só pode resultar em 0 . Ou seja

g 0 = 0

Com g 0 obtido, vamos calcular g ' x para depois substituir x por 0 .

Como vimos no passo 1, a derivada de uma integral em que o limite superior de integração é dado por uma função é obtida como

p x = ∫ a q x f t d t = F q x - F a

p ' x = d q x d x · f q x

Comparando com g x , vemos que q x = 2 x e f t = cos ⁡ t 2

Assim, calculando g ' x , temos

g ' x = d 2 x d x cos ⁡ 2 x 2

Derivando 2 x pelo método de derivação polinomial

g ' x = 2 cos ⁡ 4 x 2

Entendeu essa parte? 😎

Passo 4

Com g ' x obtido, vamos substituir x por 0 para obter a última peça do nosso quebra cabeça

g ' 0 = 2 cos ⁡ 4 0 2 = 2 cos ⁡ 0

Como cos ⁡ 0 = 1 , temos que

g ' 0 = 2

Por fim, se h ' 0 = g 0 + g ' 0 , vamos obter

h ' 0 = 0 + 2

h ' 0 = 2

Logo, a derivada de h x no ponto x = 0 é 2 .

Bacana, não é? 🤩

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

h ' 0 = 2

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