Considere a função f : R → R dada por

f x = ∫ 3 2 x 3 + x 2 t 3 d t t 2 + 16

  1. Determine f 1 e f - 1 .
  2. Calcule f ' x , utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

(a)

Pra calcular f 1 , basta jogar x = 1 na função

f 1 = ∫ 3 2 . 1 3 + 1 2 t 3 d t t 2 + 16 = ∫ 3 3 2 t 3 d t t 2 + 16

Opa, integral com os limites de integração iguais dá zero!

f 1 = 0

Passo 2

Pra f - 1 o procedimento é o mesmo:

f 1 = ∫ 3 2 . - 1 3 - 1 2 t 3 d t t 2 + 16 = ∫ 3 - 3 2 t 3 d t t 2 + 16

Bom, parece que dá pra resolver essa integral, com uma substituição trigonométrica provavelmente.

Mas para evitar o trabalhããão que a gente teria calculando essa bagaça, eis que vem a famosa sacada (ou pulo do gato, ou iluminação divina se você prefirir):

A   f u n ç ã o   g t = 2 t 3 t 2 + 16   é   í m p a r .

E como a integral definida de uma função ímpar onde os limites de integração são opostos dá zero (a função é simétrica em relação à origem), então

∫ 3 - 3 2 t 3 d t t 2 + 16 = 0

Ok, calma. Você pode estar pensando: “tá de sacanagem, eu nunca pensaria nisso na hora da prova”. Mas essa sacada não veio totalmente do nada: se os limites de integração ( 3 e - 3 ) não fossem opostos, a gente nem pensaria nessa possibilidade.

Então fica a dica: quando você cair numa integral complicada onde os limites de integração são tipo - 1 e 1 , - 2 e 2 , - 764389 e 764389 , etc. teste se a função é ímpar! No caso do exercício, temos

g - t = 2 - t 3 - t 2 + 16 = - 2 t 3 t 2 + 16 = - g t

Então de fato, g t é ímpar. Logo,

∫ - 3 3 2 t 3 d t t 2 + 16 = ∫ 3 - 3 2 t 3 d t t 2 + 16 = 0

Ou seja:

f - 1 = 0

Passo 3

(b)

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, de maneira geral, se

f x = ∫ a u x g t d t

então

f ' x = g u x u ' x

No nosso caso, temos a = 3 ,

g t = 2 t 3 t 2 + 16

e

u x = 2 x 3 + x

⇒ u ' x = 6 x 2 + 1

Logo,

f ' x = 2 2 x 3 + x 3 2 x 3 + x 2 + 16 6 x 2 + 1

Resposta

(a)

f 1 = f - 1 = 0

(b)

f ' x = 2 2 x 3 + x 3 6 x 2 + 1 2 x 3 + x 2 + 16

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