1) Encontre (sem calcular a integral) a derivada da função

h x = ∫ 2 1 x arctan ⁡ t d t

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

O que precisamos calcular nesse exercício é a derivada da função arctan ⁡ ( t ) , que possui t como sua variável e que está dentro de uma integração de uma função de x . Isso é um pouco confuso, não é?

Em outras palavras, a função completa ( h ( x ) ) possui x como variável, mas essa variável só aparece no intervalo de integração. E como a função dentro da integral está em função de t , calculamos algo chamado Argumento de Integração.

Você vai perceber que é mais fácil do que parece... Vamos trabalhar nisso?

Passo 2

O que faremos é calcular a derivada de ∫ 2 1 x arctan ⁡ t d t com relação a x usando o teorema fundamental do cálculo e a regra da cadeia.

Esses dois conceitos apesar de teóricos, são os conceitos que usamos para todas as contas envolvendo derivadas e integrais.

Para o nosso caso:

d d x 1 x arctan ⁡ 1 x .

Em resumo, substituímos t por 1 x . Isso é o Argumento de Integração aplicado.

E devido ao teorema fundamental do cálculo, quando executamos isso, multiplicamos pela derivada do argumento. Por isso d d x 1 x apareceu.

Passo 3

A partir daqui, só precisamos calcular!

1 x pode ser reescrito como x - 1 .

Derivando x - 1 :

- 1 * x - 1 - 1

- x - 2

Reescrevendo:

- 1 x 2

Passo 4

Agora vamos juntar os termos:

- 1 x 2 * arctan ⁡ 1 x

Ou simplificando:

- arctan ⁡ 1 x x 2

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

- arctan ⁡ 1 x x 2

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