Calcule as integrais abaixo, utilizando para isso o Teorema Fundamental do Cálculo:

c)

∫ 0 2 π sin ⁡ t cos ⁡ t d t

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral baseado no Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ 0 2 π sin ⁡ t cos ⁡ t d t

Lembrando da identidade trigonométrica:

2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ = sin ⁡ ( 2 θ )

Dessa forma, temos que a integral fica:

∫ 0 2 π sin ⁡ 2 t 2 d t ∴

1 2 ∫ 0 2 π sin ⁡ 2 t d t ∴

Mas antes, sempre é bom relembrar um pouquinho desse teorema.

Seja f x uma função contínua no intervalo a , b . Então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f .

Ou seja, primeiro devemos descobrir qual é a função primitiva para depois aplicarmos os limites!!

Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, sabemos que a primitiva de sin ⁡ 2 t 2 é dada por:

F t = - 1 2 cos ⁡ 2 t

Dessa forma, aplicando os limites, temos:

∫ 0 2 π sin ⁡ 2 t 2 d t = F 2 π - F 0 ∴

∫ 0 2 π sin ⁡ 2 t 2 d t = - 1 2 cos ⁡ 2 * 0 - - 1 2 cos ⁡ 2 * 2 π ∴

∫ 0 2 π sin ⁡ 2 t 2 d t = - 1 4 cos ⁡ 4 π - cos ⁡ 0 ∴

∫ 0 2 π sin ⁡ 2 t 2 d t = - 1 4 0 - 0 ∴

∫ 0 2 π sin ⁡ 2 t 2 d t = 0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 2 π sin ⁡ t cos ⁡ t d t = 0

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