Seja g :   R - → R uma função contínua que satisfaz 3 x 2 + c = x   ∫ c x g ( t )   d t , sendo c uma constante não nula. O valor de g ( c ) é igual a:

  1. 2.
  2. 4.
  3. 1.
  4. 6.
  5. 0.

Passo 1

Opa! Tudo bem?

Nesse aqui nós vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Lembra dele? Basicamente ele diz que:

d d x ∫ a x f ( t )   d t = f ( x )

Então vamos usar isso e derivar nossa equação!

Passo 2

Vamos derivar os dois lados dessa equação:

3 x 2 + c = x   ∫ c x g t   d t

6 x + 0 = x ' ⋅ ∫ c x g t   d t + x ∫ c x g t   d t '   ( r e g r a   d o   p r o d u t o )

6 x = ∫ c x g ( t )   d t + x ⋅ g ( x )

Passo 3

Para essa equação ser verdadeira, precisamos que os termos correspondentes sejam iguais, então aqui:

6 x = x   g ( x )

No ponto x = c , temos:

6 c = c   g ( c )

E daí:

g c = 6

E prontinho! Chegamos na alternativa D 😉

Resposta

D )   g c = 6

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