Sejam f função diferenciável cuja derivada é contínua, tal que f ( 8 ) = 9

∫ 0 8 x f ' ( x ) d x = 2 ∫ 0 17 4 x 3 f ( x 4 ) d x = 7

O valor de da integral ∫ 8 17 f ( x ) d x é:

  1. - 41
  2. - 43
  3. - 42
  4. - 44
  5. - 40

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do método de integração por partes!!! Lembram dele?

Ele diz que se

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b d u v

Lembraram? Boa!

Então bora pra questão!!!! Queremos valor de da integral ∫ 8 17 f ( x ) d x , mas sabemos que

f ( 8 ) = 9

∫ 0 8 x f ' ( x ) d x = 2 ∫ 0 17 4 x 3 f ( x 4 ) d x = 7

E aí? Como podemos prosseguir? Vamos trabalhar com a integral abaixo primeiro.

∫ 0 17 4 x 3 f ( x 4 ) d x = 7

Integral feia, né? Vamos fazer a seguinte mudança de variável.

x 4 = u

⇒ 4 x 3 d x = d u

x 3 d x = d u 4

Além disso, temos uma mudança nos limites de integração. Temos que se

x = 0 ⇒ u = 0

se

x = 17 4 ⇒ u = 17

Dessa forma, a nossa integral pode ser reescrita como

∫ 0 17 4 x 3 f ( x 4 ) d x = ∫ 0 17 f ( u ) d u 4

Como as integrais são iguais. Então

∫ 0 17 f ( u ) d u 4 = 7

⇒ ∫ 0 17 f ( u ) d u = 28

Vamos guardar esse resultado.

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que

∫ 0 17 f ( u ) d u = 28

Agora, vamos trabalhar com a outra integral que o enunciado nos dá.

∫ 0 8 x f ' ( x ) d x = 2

O que podemos fazer? Vamos resolvê-la. E para isso precisamos da integração por partes que diz que

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b d u v

Então fazendo u = x e d v   =   f ' ( x ) temos:

∫ 0 8 x f ' ( x ) d x = x f ( x ) | 0 8 - ∫ 0 8 f ( x )

Mas o enunciado diz que

f ( 8 ) = 9

Logo,

∫ 0 8 x f ' ( x ) d x = x f ( x ) | 0 8 - ∫ 0 8 f ( x )

= 72 - ∫ 0 8 f ( x )

E como

∫ 0 8 x f ' ( x ) d x = 2

Então:

72 - ∫ 0 8 f ( x ) = 2

⇒ ∫ 0 8 f ( x ) = 70

Tá e como isso ajuda a gente a calcular ∫ 8 17 f ( x ) d x ? Ora temos que

∫ 8 17 f ( x ) d x =   ∫ 0 17 f ( x ) d x -   ∫ 0 8 f ( x ) d x

E já calculamos essas integrais!!!! Então temos que

∫ 8 17 f ( x ) d x = 28 - 70

= - 42

Valor encontrado na alternativa c )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

c )

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