Dê o domínio e calcule a derivada da função f , onde

f x = ∫ 1 x e t t 2 + 1 d t

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função f ( x ) , ou seja, quer saber os valores de x para que f ( x ) resulte em valores reais.

Repare que temos uma pegadinha aqui: não se pediu o domínio de e t t 2 + 1 ! E, sim, de f ( x ) . Entender isso é importante.

Em segundo lugar, o enunciado pede a derivada de f . Como sempre, ao aparecer uma integral na forma ∫ a x f ( t ) d t , temos que pensar no Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1! Ainda mais, se pedindo a derivada dessa função.

Relembrando: o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 fala que se g for contínua em [ a , b ] , então f x = ∫ a x g ( t ) d t para a ≤ x ≤ b é contínua em [ a , b ] , derivável em ( a , b ) e f ' x = g ( x ) .

Para acharmos o domínio de f ( x ) , temos que olhar para as restrições de x .

Depois, para acharmos a derivada de f ( x ) , temos que ver se a função g t = e t t 2 + 1 é contínua. Se for, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 para calcularmos a derivada.

Passo 2

Achando o domínio de f ( x ) :

Como no limite superior de integração aparece x , temos que a única restrição é x ≥ 0 . Portanto, o domínio de f x é o intervalo [ 0 , + ∞ ) .

Passo 3

Achando a derivada de f ( x ) :

Como g t = e t t 2 + 1 não possui nenhuma restrição, g ( t ) é contínua e podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 para todo x ≥ 0 (domínio da função f )

Nota-se que NÃO podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 direto, já que onde deveria estar x , está x .

Para corrigirmos esse problema, iremos fazer uma substituição:

u = x

Então:

f ( x ) = ∫ 1 u e t t 2 + 1 d t

Iremos usar a Regra da Cadeia para derivar f ( x ) .

Relembrando a Regra da Cadeia:

d f d x = d f d u ⋅ d u d x

Logo:

f ' x = d f d x = d d u ∫ 1 u e t t 2 + 1 d t ⋅ d u d x

Passo 4

Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 para acharmos d d u ∫ 1 u e t t 2 + 1 d t .

d d u ∫ 1 u e t t 2 + 1 d t = e u u 2 + 1 = e x x + 1

Para calcular o outro fator:

d u d x = d d x x = d d x x 1 / 2 = 1 2 x - 1 / 2 = 1 2 x

Logo:

f ' x = e x x + 1 ⋅ 1 2 x

Resposta

Domínio: [ 0 , + ∞ )

f ' x = e x x + 1 ⋅ 1 2 x

Exercícios de Livros Relacionados

Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? Justifique brevemente suas respostas. y = ∫ 1 x 1 t d t - 3 y = ∫ 0 x
Ache a integral indefinida geral. Ilustre fazendo o gráfico de vários membros da família na mesma tela. ∫ cos ⁡ x - 2 s e n x d x
A região no primeiro quadrante, limitada pela curva y = 5 - x x + 1 2 , pelo eixo x e pelo eixo y gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Em uma cidade com 12000 pessoas, a taxa de crescimento de uma epidemia de gripe é conjuntamente proporcional ao número de pessoas tiveram a gripe e ao número de pessoas que não a contraíram. Cinco dia