Calcule a derivada das seguintes funções:

b) H x = ∫ x 9 w 2 w 4 + 1 d w

Passo 1

Bom pessoal, temos aqui que calcular a derivada de uma função que é dada a partir de uma integral. Nesses casos vamos usar o famoso TFC, o Teorema Fundamental do Cálculo, ele diz pra gente:

Se temos uma função f x definida como:

f x = ∫ a u ( x ) g t d t

Temos que a derivada dessa f ( x ) é dada por:

f ' x = g u x u ' x

Mas no nosso caso, a função u x = x está no limite inferior e não no superior, por conta disso, vamos inverter os limites de integração multiplicando a integral por - 1 (essa é uma das propriedades das integrais).

f x = ∫ u ( x ) a g t d t = - ∫ a u ( x ) g t d t

Passo 2

Bom, vamos começar reescrevendo nossa função H ( x ) para depois aplicar o TFC.

H x = ∫ x 9 w 2 w 4 + 1 d w = - ∫ 9 x w 2 w 4 + 1 d w

Beleza, o próximo passo agora é aplicar o TFC:

H ' x = - g u x u ' x

Sendo a função g w = w 2 w 4 + 1 e u x = x

Passo 3

Substituindo u ( x ) que é a função no limite superior na função g w que é a função dentro da integral, teremos:

g u x = x 2 x 4 + 1

g u x = x x 2 + 1

E a derivada de u x

u ' x = x '

Para essa derivada, vale a pena relembrar que x = x 1 / 2 , portanto:

x 1 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2

x 1 2 ' = 1 2 x 1 / 2 = 1 2 x

E pronto, ou seja:

u ' x = 1 2 x

Por fim, só substituir tudo:

H ' x = - g u x u ' x

H ' x = - x x 2 + 1 1 2 x

H ' x = - x 2 x x 2 + 1

Resposta

H ' x = - x 2 x x 2 + 1

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