Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo

PUCRIO, Cálculo 1 - MAT1161, G3 - 2010.1, Questão 4c

Considere:

G x = 0 x f t d t

Onde f é a função cujo gráfico é dado abaixo:

Sabendo que as áreas das regiões R 1 , R 2 , R 3 , R 4 e R 5 são:

A R 1 = 4 5 , A R 2 = 1 , A R 3 = 2 3 , A R 4 = 3 4 e A R 5 = 5 6 .

Determine os pontos de máximo e mínimo local da função G .

Passo 1

O máximo e mínimo da função ocorrem quando sua derivada é igual à zero. Igualamos utilizando o teorema fundamental da álgebra:

d G ( x ) d x = f ( x )

d G ( x ) d x = 0 f x = 0

Pelo gráfico, observamos que:

f x = 0 x - 1,1 , 2,3 , 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos avaliar se o ponto é de máximo ou mínimo. Em x = - 1 não podemos saber, mas em x = 1 sabemos que a derivada era positiva e passa à ser negativa. Ou seja, a função estava crescendo e passa à decrescer. Segue que é um ponto de máximo local.

Passo 3

O outro ponto x = 2 , temos que a derivada era negativa antes e continua a ser negativa depois, portanto temos um ponto de sela.

Passo 4

Em x = 3 temos que a derivada era negativa antes e virou positiva depois, portanto a função estava crescendo e começou à crescer, logo é um ponto de mínimo local. O último ponto ( x = 4 ) não podemos dizer nada.b

Portanto, chegamos à resposta.

Resposta

Máximo local é x = 1 .

Mínimo local é x = 3 .

Ponto de sela é x = 2 .

Os outros dois pontos ( x = - 1 , x = 4 ) não podemos determinar, mas são pontos de máximo ou mínimo locais.

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