A função definida pela relação

Φ ( x ) = ∫ - 7 x 2 - 10 x + 21 t 2 ( t - 96 ) e - 7 t 2 d t

tem dois mínimos locais nos pontos a , b respectivamente.

O valor de é | b - a | é:

  1. 23
  2. 27
  3. 18
  4. 21
  5. 20

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez vamos fazer uso do teorema fundamental do cálculo!!! Lembram dele?

Ele diz que se

F ( x ) = ∫ a x f ( u ) d u

F ' ( x ) = f ( x )

Lembraram? Boa!

Além disso, podemos combinar esse teorema com a regra da cadeia, chegando na seguinte conclusão

F ( x ) = ∫ a g ( x ) f ( u ) d u

F ' ( x ) = f ( g ( x ) ) * g ' ( x )

Show? Então bora pra questão.

Queremos saber o módulo da diferença entre os pontos mínimos de

Φ ( x ) = ∫ - 7 x 2 - 10 x + 21 t 2 ( t - 96 ) e - 7 t 2 d t

Como achamos os mínimos de uma função? Deriva e iguala a zero!!! Então vamos fazer isso!!!!

Usando a regra da cadeia, temos:

d d x Φ ( x ) = d d x ∫ - 7 x 2 - 10 x + 21 t 2 ( t - 96 ) e - 7 t 2 d t

Φ ' ( x ) = ( x 2 - 10 x + 21 ) 2 ( x 2 - 10 x + 21 - 96 ) e - 7 x 2 - 10 x + 21 * ( 2 x - 10 )

Agora, igualamos a zero para descobrirmos os pontos críticos.

( x 2 - 10 x + 21 ) 2 ( x 2 - 10 x + 21 - 96 ) e - 7 x 2 - 10 x + 21 * ( 2 x - 10 )   =   0

Bem, se o produto é igual a zero, então uma de suas parcelas é zero, ou seja, temos que

( x 2 - 10 x + 21 ) 2 = 0

x 2 - 10 x + 21 - 96 = 0

2 x - 10 = 0

Passo 2

No passo anterior, chegamos a conclusão que os pontos críticos serão os x tais que

( x 2 - 10 x + 21 ) 2 = 0

x 2 - 10 x + 21 - 96 = 0

2 x - 10 = 0

Começando da última equação temos:

2 x - 10 = 0

⇒ x = 5

Da segunda equação temos:

x 2 - 10 x + 21 - 96 = 0

⇒ x 2 - 10 x - 75 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as seguintes soluções

x = 15   e   x = - 5

e por fim a primeira equação nos dá que

( x 2 - 10 x + 21 ) 2 = 0

⇒ ( x 2 - 10 x + 21 ) = 0

Usando a fórmula de Bhaskara, obtemos as seguintes soluções

x = 3   e   x = 7

Passo 3

Bem, temos várias escolhas para x ser ponto crítico, mas qual delas é ponto de mínimo? Os pontos de mínimos locais são aqueles onde o sinal da derivada à esquerda do ponto é negativa e a direita é positiva. Quais pontos satisfazem isso?

Vamos testar os valores de

x = 15   e   x = - 5

Como

Φ ' ( x ) = ( x 2 - 10 x + 21 ) 2 ( x 2 - 10 x - 75 ) e - 7 x 2 - 10 x + 21 * ( 2 x - 10 )

Temos que o primeiro e terceiro termo desse produto são sempre positivos, então só precisamos checar os demais termos. Para x = 15 , o último termo é positivo a esquerda e a direita do ponto. Mas o termo central é negativo à esquerda e positivo à direita, logo é um ponto de mínimo. Vamos encontrar outro ponto de mínimo.

Agora, para   x = - 5 , temos que o último termo é negativo, tanto a esquerda quanto a direita. Mas o terceiro termo é negativo a direita de x = - 5 . Dessa forma o produto das parcelas será negativo à esquerda e positivo à direita, logo é um ponto de mínimo.

Como o enunciado só assume dois pontos de mínimos e já os encontramos, podemos calcular o módulo da diferença entre eles. Então temos:

| b - a | = | 15 - ( - 5 ) |

= 20

Valor presente na alternativa e )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e )

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