3.a) Seja uma função contínua em R tal que

∫ 1 4 2 + 3 f x d x = 2 e ∫ 1 2 f x d x = 3

Determine o valor de

∫ 2 4 f x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Essa questão é muito interessante! Temos f x que é uma função contínua em todo o conjunto dos números reais R . Foi dado que

∫ 1 4 2 + 3 f x d x = 2

E também que

∫ 1 2 f x d x = 3

Apenas com essas informações, temos que saber qual é a integral de f x entre 2 e 4 .

∫ 2 4 f x d x

E aí, sabe o que podemos fazer?? 🤔🤔

O segredo aqui é lembrar do teorema fundamental do cálculo! Não precisamos encontrar a expressão da função f x , mas temos que entender que a integral de uma função, sesulta em outra função.

Vamos chamar a integral de f ( x ) como F x , assim, pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ x 1 x 2 f x d x = F x 2 - F x 1

Sacou? Bora pro problema! 😁

Passo 2

Vamos começar calculando a integral de 2 + 3 f x entre 1 e 4 que resulta em 2 , ou seja

∫ 1 4 2 + 3 f x d x = 2

Integramos 2 normalmente e ao integrar f x fazemos F x .

∫ 2 + 3 f x d x = 2 x + 3 F x

Aplicando os limites de integração

∫ 1 4 2 + 3 f x d x = 2 4 + 3 F 4 - 2 1 + 3 F 1

∫ 1 4 2 + 3 f x d x = 3 F 4 - 3 F 1 + 6

Como essa integral é igual a 2 , temos

∫ 1 4 2 + 3 f x d x = 3 F 4 - 3 F 1 + 6 = 2

∫ 1 4 2 + 3 f x d x = 3 F 4 - 3 F 1 = - 4

Agora fazemos o mesmo para a integral de f x entre 1 e 2 que resulta em 3

∫ 1 2 f x d x = 3

Como a integral de f x é igual a F x , podemos aplicar os limites de integração direto

∫ 1 2 f x d x = F 2 - F 1 = 3

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora o segredo é que obtemos duas equações

3 F 4 - 3 F 1 = - 4 F 2 - F 1 = 3

Pensando na integral que temos que calcular ∫ 2 4 f x d x

Pelo teorema, nosso resultado deve ser

∫ 2 4 f x d x = F 4 - F 2

Então com essas equações, temos que dar um jeito de isolar F 4 - F 2 para obter o resultado!

Isolando F 1 na segunda equação

F 1 = F 2 - 3

Substituindo F 1 na primeira equação, temos

3 F 4 - 3 F 1 = - 4

3 F 4 - 3 F 2 - 3 = - 4

3 F 4 - 3 F 2 + 9 = - 4

Colocando 3 em evidência e passando 9 para o lado direito...

3 F 4 - F 2 = - 13

Isolando F 4 - F 2 , temos

F 4 - F 2 = - 13 3

Portando se ∫ 2 4 f x d x = F 4 - F 2 e se F 4 - F 2 = - 13 3 , logo

∫ 2 4 f x d x = - 13 3

A integral que estávamos procurando resulta em - 13 / 3 . Legal né? 😁

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 2 4 f x d x = - 13 3

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