Considere a função

F x = ∫ 0 x 3 - 3 x 2 e t 2 d t

a Determine os dois pontos críticos de F x , isto é, os pontos onde F ' x = 0 .

b Identifique qual desses pontos é ponto de máximo e qual é ponto de mínimo. Justifique.

Passo 1

Bom, para achar onde F ' x é nulo precisamos, inicialmente, derivar F ' x . Como esse cara é definido por uma integral, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para derivá-lo:

F ' x = ∫ 0 x 3 - 3 x 2 e t 2 d t '

= e x 3 - 3 x 2 2 x 3 - 3 x 2 ' = e x 3 - 3 x 2 2 3 x 2 - 6 x

= e x 3 - 3 x 2 2 3 x x - 2

Repara o seguinte: a exponencial é sempre positiva. O sinal de F ' x , portanto, só vai depender de 3 x x - 2 ! Os dois pontos que zeram esse termo, suas raízes, são 0 e 2 .

Dessa maneira, os dois pontos críticos de F x são x = 0 e x = 2 !

Passo 2

b Para observar se os pontos são de máximo ou de mínimo temos que olhar para o sinal da derivada antes e depois de cada ponto. Vamos fazer o quadro de sinais para tirar essa dúvida:

Dá para ver que o ponto crítico do 0 tem derivada positiva antes e negativa depois, o que gera um ponto de máximo. Já o do 2 tem derivada negativa antes e positiva depois, sendo esse um ponto de mínimo, portanto.

Logo, x = 0 é ponto de máximo local e x = 2 de mínimo local.

Resposta

a   o s   d o i s   p o n t o s   c r í t i c o s   d e   F ( x )     s ã o   x = 0   e   x = 2 .

b   x = 0   é   p o n t o   d e   m á x i m o   l o c a l   e   x = 2   d e   m í n i m o   l o c a l .

Exercícios de Livros Relacionados

Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? Justifique brevemente suas respostas. y = ∫ 1 x 1 t d t - 3 y = ∫ 0 x
Ache a integral indefinida geral. Ilustre fazendo o gráfico de vários membros da família na mesma tela. ∫ cos ⁡ x - 2 s e n x d x
A região no primeiro quadrante, limitada pela curva y = 5 - x x + 1 2 , pelo eixo x e pelo eixo y gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Em uma cidade com 12000 pessoas, a taxa de crescimento de uma epidemia de gripe é conjuntamente proporcional ao número de pessoas tiveram a gripe e ao número de pessoas que não a contraíram. Cinco dia