2 . Seja f : - 1 , + ∞ → R , definida por

y = f x = ∫ - 1 / 5 x t 2 1 + t 3   d t .

Selecione a opção que apresenta os intervalos onde o gráfico da função f é côncavo para baixo:

A : - 1 ,   0 e 2 3 ,   + ∞ .

B : 0 ,   2 3 .

C : - 1 / 5 ,   0 e 2 3 7 ,   + ∞ .

D : - 1 / 5 ,   0 e 1 ,   + ∞ .

E : - 1 , - 1 / 5 e 2 3 7 ,   + ∞ .

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!

Para encontramos o(s) intervalo(s) onde temos concavidade para baixo, vamos usar a seguinte propriedade.

Se em um determinado intervalo tivermos f ' ' x < 0 teremos concavidade para baixo, onde f ' ' ( x ) é a segunda derivada da função f ( x ) .

Então precisamos encontrar f ' ' e analisar onde ela é negativa dentro do domínio de f , tendo isso a gente sabe onde a concavidade é para baixo.

Para encontrar f ' ( x ) sem ter que resolver a integral para depois derivar a função, podemos usar o teorema fundamental do cálculo, onde temos que:

d d x ∫ a x f t   d t = f x d d x x - f a d d x ( a )

Com isso encontramos f ' ( x ) e depois é só derivar f ' ( x ) para encontrar f ' ' ( x ) .

Vamos as contas!

Passo 2

Vamos atrás de f ' ( x ) , temos o seguinte:

d d x ∫ - 1 / 5 x t 2 1 + t 3   d t = x 2 1 + x 3 d d x x - - 1 5 2 1 + - 1 5 3 d d x - 1 5

Mas a derivada de uma constante é zero, assim:

f ' x = x 2 1 + x 3

Passo 3

Agora vamos encontrar f ' ' ( x ) , para isso vamos usar a regra do cociente, onde temos que:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Então temos o seguinte:

f ' ' x = x 2 ' 1 + x 3 - ( x 2 ) ( 1 + x 3 ) ' 1 + x 3 2

= 2 x 1 + x 3 - x 2 ( 3 x 2 ) 1 + x 3 2

= 2 x + 2 x 4 - 3 x 4 1 + x 3 2

Então temos que:

f ' ' x = - x ( x 3 - 2 ) 1 + x 3 2

Passo 4

Agora temos que avaliar em que intervalos temos f ' ' x < 0 .

Temos o seguinte:

f ' ' x = - x ( x 3 - 2 ) 1 + x 3 2

Olhando essa função a gente pode ver que para x = 0 ela é zero, então ou para valores x < 0 ela era negativa e depois para x > 0 ficou positiva ou o contrário, então vamos ver o valor dela para x = - 1 , já que é um dos limites do domínio, temos:

f ' ' - 1 = - ( - 1 ) ( ( - 1 ) 3 - 2 ) 1 + ( - 1 ) 3 2

Para esse valor a função f ' ' ( x ) diverge, então vamos avaliar para x = - 1 / 5 , temos:

f ' ' - 1 / 5 = - ( - 1 / 5 ) ( ( - 1 / 5 ) 3 - 2 ) 1 + ( - 1 / 5 ) 3 2 < 0

Então o primeiro intervalo é de ( - 1 / 5 ,   0 ) .

Passo 5

Agora vamos ver se tem outro intervalo, a gente já sabe que depois de zero f ' ' ( x ) cresce e fica positiva, só que pegarmos x = 2 por exemplo, ela fica negativa de novo.

f ' ' 2 = - ( 2 ) ( ( 2 ) 3 - 2 ) 1 + ( 2 ) 3 2 < 0

E olhando para valores de x → ∞ ela continua negativa.

Isso quer dizer que ela subiu e depois desceu de novo e ficou negativa, então teve um ponto no meio disso que ela deixou de ter valores positivos e passou a ter valores negativos.

Vamos analisar x = 1 , temos:

f ' ' 1 = - ( 1 ) ( ( 1 ) 3 - 2 ) 1 + ( 1 ) 3 2 > 0

Então a partir de x = 1 a função f ' ' ( x ) passou a ter valores negativos, então passamos a ter concavidade para baixo em f ( x ) , assim o outro intervalo é ( 1 ,   + ∞ ) .

Então a única alternativa que está certa é a letra D .

Resposta

D : - 1 / 5 ,   0 e 1 ,   + ∞

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