Sejam a e b números reais e f uma função diferenciável tal que f a = l n ⁡ ( 4 ) , f b = l n ⁡ ( 12 ) , f ' b = 3 e f ' a = 1

∫ a b e f t d t = 8

O valor de

∫ a b ∫ a x e f t d t f ' ' x d x

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Essa questão assusta um pouquinho, mas a gente precisa só fazer ela com calma que vamos conseguir!!

Primeiro, vamos resolver aquela integral mais interna e depois vamos abrindo pras mais externas.

Passo 2

Vamos chamar:

∫ a x e f t d t

Temos ali uma integral que é uam exponencial de uma função de t, e sabemos que a integrais de uma exponencial dá ela própria! Então,

∫ a x e f t d t = e f x - e f a

Opa, mas o enunciado nos disse quanto vale f ( a )

∫ a x e f t d t = e f x - e ln ⁡ 4

∫ a x e f t d t = e f x - 4

Passo 3

Agora vamos resolver a integral de fora:

∫ a b e f x - 4 f ' ' x d x

∫ a b f ' ' x e f x d x - ∫ a b f ' ' ( x ) 4 d x

Resolvendo as integrais, temos:

∫ a b f ' ' x 4 d x = 4 f ' b - f ' a

Do enunciado, temos os valores das derivadas ali!!!

4 3 - 1 = 8

Passo 4

Agora precisamos encarar essa derivada aqui!!!

∫ a b f ' ' x e f x d x

Mas podemos pensar no seguinte: usando o Teorema Fundamental do Cálculo, observamos que a derivada segunda de f ' ' ( x ) será igual ao valor da integral dada no enunciado, logo:

∫ a b f ' ' x e f x d x = ∫ a b 8 e f x d x

8 e f b - e f a = 8 e ln ⁡ 12 - e ln ⁡ 4

8 12 - 4 = 16

Portanto, o valor da integral dada será: 16

Resposta

16

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