Seja

f x = ∫ x 2 1 1 + t 4 d t

É dado que

∫ 1 2 1 1 + t 4 d t = 0,2

  1. Determine f ' 1
  2. Ache a área do triangulo limitado pelos eixos e pela reta tangente ao gráfico de f no ponto 1 , f 1 .

Passo 1

a )

Normalmente quanto derivamos, o x está no limite superior, mas dessa vez não está, mas lembra das propriedades de integral? Podemos fazer

∫ x 2 1 1 + t 4 d t = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t

Então vamos ver a função f como

f x = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t

E vamos derivar usando o teorema fundamental do cálculo

f ' x = - ∫ 2 x 1 1 + t 4 d t '

f ' x = - 1 1 + x 4

Lembra que começar com 2 ou 0 , no limite inferior não faz diferença.

Passo 2

Vamos agora fazer f ' 1

f ' 1 = - 1 1 + 1 4 = - 1 2

Passo 3

b )

Para acharmos essa área, primeiro temos que achar a reta tangente.

Lembrando que a reta tangente em um ponto, no caso x = 1 , vai ser

y - f 1 x - 1 = f ' 1

A derivada já achamos, e ele deu f 1 que é trocar x por 1 na integral, então vamos ter

y - 0,2 x - 1 = - 1 2

y - 0,2 = - 0,5 x + 0,5

y = - 0,5 x + 0,7

Vamos ver como fica o esboço da reta,

Isso vai ficar assim por o coeficiente de x é negativo. Temos que achar os catetos desse triangulo, um vai ser onde x = 0 e outro vai ser onde y = 0

Vamos começar fazendo x = 0

y = - 0,5 . 0 + 0,7

y = 0,7

Um dos catetos é 0,7

Vamos fazer agora y = 0

0 = - 0,5 x + 0,7

0,5 x = + 0,7

x = 0,7 0,5 = 7 5

O outro cateto vai ser 7 5

A área vai ser

A = 0,7 . 7 5   2 = 4,9 10 = 0,49

Resposta

  1. f ' 1 = - 1 2
  2. A = 0,49

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