Utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtenha as seguintes integrais:

h)

∫ 1 e 2 t t 2 + 1   d t

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral baseado no Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ 1 e 2 t t 2 + 1   d t

Mas antes, sempre é bom relembrar um pouquinho desse teorema.

Seja f x uma função contínua no intervalo a , b . Então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Onde F é qualquer primitiva de f .

Ou seja, primeiro devemos descobrir qual é a função primitiva para depois aplicarmos os limites.

No caso dessa integral que iremos resolver, não existe

Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, no caso dessa integral, não existe uma fórmula geral para encontrar a primitiva da função de 2 t t 2 + 1 , pois essa função é muito complexa para integrarmos analiticamente.

No entanto, podemos resolvê-la utilizando integração por substituição.

Seja u = t 2 + 1 ∴ d u = 2 t   d t . Aplicando na integral, temos:

∫ 2 t t 2 + 1 d t = ∫ 2 t u * d u 2 t ∴

∫ 2 t t 2 + 1 d t = ∫ d u u ∴

∫ 2 t t 2 + 1 d t = ln ⁡ u ∴

∫ 2 t t 2 + 1 d t = ln ⁡ t 2 + 1

Aqui, podemos aplicar o Teorema, onde a primitiva é dada por:

F x = ln ⁡ t 2 + 1

Logo, substituindo, temos:

∫ 1 e 2 t t 2 + 1   d t = F e - F 1 ∴

∫ 1 e 2 t t 2 + 1   d t = ln ⁡ e 2 + 1 - ln ⁡ 1 2 + 1 ∴

∫ 1 e 2 t t 2 + 1   d t = 1,43378

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 1 e 2 t t 2 + 1   d t = 1,43378

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