Considere a função:

F x =   ∫ a r c s e n   x arccos ⁡ x cos 4 ⁡ t d t ,           x ∈ 0,1 .  

Calcule F 2 2 ,   F ' x     e   F ' 2 2 .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo tranquilo por aí?

Nessa questão recebemos uma expressão para a função F que é dada através de uma integral:

F x =   ∫ a r c s e n   x arccos ⁡ x cos 4 ⁡ t d t

A partir disso precisamos calcular F em x = 2 / 2 e a derivada de F , F ' , em x e em x = 2 / 2 .

Massa!

Pra resolvermos esse problema devemos lembrar de um caso especial do teorema fundamental do cálculo. Segundo ele:

Se:

F x =   ∫ h ( x ) g ( x ) f t d t

∴   F ' x = f g x ⋅ g ' x - f h x ⋅ h ' ( x )

Vamos precisar usar essa expressão no cálculo de F ' ( x ) . Além disso, também é importante lembrarmos que a fun��ão a r c c o s e a r c s e n possuem contradomínios “especiais”:

C D arccos ⁡ x : [ 0 , π ]

C D a r c s e n   x : - π 2 , π 2

Show de bola!

Agora que revisamos essas ideias, vamos para as continhas 😊

Passo 2

Bom, vamos começar calculando

F 2 2

Usando a nossa expressão, teríamos:

F 2 2 = ∫ a r c s e n 2 2 arccos ⁡ 2 2 cos 4 ⁡ t d t

Vamos pensar um pouquinho nesses limites de integração. Lembrando do contradomínio que comentamos para a função arccos ⁡ x no passo anterior, temos:

arccos ⁡ 2 2 = π 4

Já para a função a r c s e n   x , vamos ter:

a r c s e n   2 2 = π 4

Assim, aquela nossa integral anterior, na verdade se resume a:

∫ a r c s e n 2 2 arccos ⁡ 2 2 cos 4 ⁡ t d t = ∫ π 4 π 4 cos 4 ⁡ t d t

Olha que legal. Temos uma integral cujos limites de integração são iguais. Assim, independente da função que está sendo integrada, podemos afirmar que:

∫ π 4 π 4 cos 4 ⁡ t d t = 0

Logo:

F 2 2 = 0

Excelente! O primeiro já foi 😊

Passo 3

Vamos agora calcular F ' ( x ) .

F x =   ∫ a r c s e n   x arccos ⁡ x cos 4 ⁡ t d t ,           x ∈ 0,1 .

Como F ( x ) é resultado da integral de uma função, cujos limites de integração são também outras funções, precisaremos calcular a sua derivada usando a expressão que encontramos no passo 1 :

F ' x = f g x ⋅ g ' x - f h x ⋅ h ' ( x )

No nosso caso:

g x = arccos ⁡ x h x = a r c s e n   x

Vamos então, começar calculando as derivadas dessas funções.

No caso, as derivadas delas são tabeladas, e temos:

arccos ⁡ x ' =   - 1 1 - x 2

a r c s e n   x ' = 1 1 - x 2

Assim, substituído na nossa expressão, teremos:

F ' x = cos 4 ⁡ ( arccos ⁡ x ) ⋅ - 1 1 - x 2 - cos 4 ⁡ ( a r c s e n   x ) ⋅ 1 1 - x 2

Boa! Vamos pensar um pouco agora em cada um desses termos:

cos 4 ⁡ arccos ⁡ x = cos ⁡ arccos ⁡ x 4

Reescrevi assim pra ficar mais fácil da gente visualizar. Temos que:

cos ⁡ ( arccos ⁡ x ) = x

Vamos pensar agora no outro termo trigonométrico:

cos 4 ⁡ ( a r c s e n   x ) = cos ⁡ a r c s e n   x 4

Aqui vamos precisar ser um pouco truquentos haha!

Lembram da relação fundamental da trigonometria?

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Substituindo θ por a r c s e n   x , temos:

s e n 2 a r c s e n   x + cos 2 ⁡ a r c s e n   x = 1

Mas:

s e n 2 a r c s e n   x = x 2

Assim:

cos 2 ⁡ ( a r c s e n   x ) = 1 - x 2

Substituindo esse resultado lá em cima, tamos ter:

cos 4 ⁡ ( a r c s e n   x ) = 1 - x 2 2

Excelente! Tiramos todas as funções trigonométricas da jogada. Vamos voltar para F ' ( x ) :

F ' x = cos 4 ⁡ ( arccos ⁡ x ) ⋅ - 1 1 - x 2 - cos 4 ⁡ ( a r c s e n   x ) ⋅ 1 1 - x 2

∴ F ' x = x 4 ⋅ - 1 1 - x 2 - 1 - x 2 2 ⋅ 1 1 - x 2

Fazendo algumas manipulações temos:

F ' x = - 1 1 - x 2 ⋅ x 4 + 1 2 - 2 x 2 + x 4

F ' ( x ) = - 2 x 4 + 2 x 2 - 1 1 - x 2

Prontinho! Descobrimos uma expressão para a derivada de F .

Passo 4

Pra finalizar, devemos calcular F ' 2 2 .

Podemos usar a própria expressão que encontramos no item anterior, daí vamos ter:

F ' 2 2 = - 2 ⋅ 2 2 4 + 2 ⋅ 2 2 2 - 1 1 - 2 2 2

= - 2 ⋅ 1 4 + 2 ⋅ 1 2 - 1 1 2

= - 1 2 1 2

Logo:

F ' 2 2 = - 2 2

Prontinho gente! Finalizamos a questão.

Vocês curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

F 2 2 = 0 F ' x = - 2 x 4 + 2 x 2 - 1 1 - x 2 F ' 2 2 = - 2 2

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