Considere a função f : 0 ,   1 → R definida por

f x = ∫ 0 π x e t . cos ⁡ t   d t

a) Determine a primeira e a segunda derivadas de f .

b) Determine a abscissa (coordenada x ) do ponto de inflexão do gráfico de f . Justifique sua resposta.

c) Determine a ordenada (coordenada y ) do ponto de inflexão do gráfico de f . Justifique sua resposta.

Passo 1

a) Vamos observar um negócio: f ( x ) é uma função composta g h x , onde g x = ∫ 0 x e t . cos ⁡ t   d t e h x = π x . Beleza né?

Lembra da primeira parte do teorema fundamental do cálculo? Dela temos o seguinte, se tivermos

F x = ∫ B ( x ) A ( x ) h ( t )   d t

Então, sua derivada é dada por

F ' ( x ) = h A x .   A ' x -   h B x   .   B ' x

Seguindo ela, sabemos que se g x = ∫ 0 x e t . cos ⁡ t   d t , então

g ' x = e x . cos ⁡ x . 1 - e 0 . cos ⁡ 0 . 0

g ' x = e x . cos ⁡ x

Como f ( x ) é uma função composta, vamos usar a regra da cadeia para derivá-la, que diz que se tivermos uma função f x = g ( h x ) , então sua derivada é

f ' x = g ' h x . h ' ( x )

Temos que g ' h x = e π x . cos ⁡ π x e h ' x = π , então:

f ' x = π . e π x . cos ⁡ π x

Passo 2

Sabendo que a primeira derivada de f ( x ) é f ' x = π . e π x . cos ⁡ π x , agora vamos encontrar a segunda derivada por regra do produto, lembra? Ela diz o seguinte: se tivermos uma função f x = g x . h ( x ) , sua derivada será

f ' x = g ' x . h x + g x . h ' ( x )

No nosso caso, temos o produto das funções π . e π x e cos ⁡ π x , então a regra do produto fica assim:

f ' ' x = π . e π x ' . cos ⁡ π x + π . e π x . ( cos ⁡ π x ) '

f ' ' x = π . π . e π x . cos ⁡ π x + π . e π x . π . ( - s e n   π x )

f ' ' x = π 2 . e π x cos ⁡ π x - π ² . e π x . s e n   π x

Colocando os termos comuns em evidência:

f ' ' x = π 2 . e π x . cos ⁡ π x - s e n   π x

Passo 3

b) O ponto de inflexão acontece quando a segunda derivada é 0 certo? Então:

f ' ' x = 0

π 2 . e π x . cos ⁡ π x - s e n   π x = 0

Bom, temos uma multiplicação de π 2 . e π x com cos ⁡ π x - s e n   π x , e essa multiplicação tem que ser igual a 0. A coisa é o seguinte: pra multiplicação zerar, um dos termos tem que ser igual a 0, mas pensa comigo: π 2 . e π x nunca vai ser 0, por quê? Porque π ² é uma constante, e e π x simplesmente não tem como zerar pra nenhum valor de x .

Então a única forma de nosso produto ser 0, é se cos ⁡ π x - s e n   π x = 0 :

cos ⁡ π x - s e n   π x = 0

cos ⁡ π x = s e n   π x

Ta bom, mas vamos pensar uma coisa: o enunciado fala pra gente que a função só está definida no intervalo 0 ,   1 , então, se x está nesse intervalo, π x está no intervalo 0 ,   π .

Agora sim vamos continuar, se temos o cosseno igual o seno, vamos pensar no ângulo que eles se igualam. Isso acontece em 45 ° = π 4 né?

Então:

π . x = π 4

x = 1 4

Aeeee, encontramos o valor de x que faz a segunda derivada ser 0 :D Então é a abscissa do nosso ponto de inflexão.

Passo 4

c) Para encontrarmos a ordenada, basta calcularmos f 1 4 certo? Pois é o par com a nossa abscissa x = 1 4 :

f x = ∫ 0 π x e t . cos ⁡ t   d t

f 1 4 = ∫ 0 π . 1 4 e t . cos ⁡ t   d t

Vamos fazer a integral indefinida primeiro vai, só pra facilitar nossa vida hahaha

∫ e t . cos ⁡ t   d t

Usaremos integração por partes, que diz o seguinte:

∫ u   d v = u . v - ∫ v   d u

Pra escolhermos quem vai ser u e quem vai ser d v , vamos usar a regrinha do LIATE que vimos lá na teoria hehe então vamos escolher:

u = cos ⁡ t (trigonométrica) d u = - s e n t d t

d v = e t d t (exponencial) v = e t

Passo 5

Usando a formulazinha de integração por partes:

∫ u   d v = u . v - ∫ v   d u

∫ e t . cos ⁡ t   d t = cos ⁡ t . e t - ∫ e t . - s e n   t   d t

∫ e t . cos ⁡ t   d t = cos ⁡ t . e t + ∫ e t . s e n   t   d t     ( I )

Eita! Vamos ter que calcular essa nossa segunda integral por partes de novo hahaha

Dessa vez:

u = s e n   t                     d u = cos ⁡ t   d t

d v = e t d t               v = e t

Passo 6

Vamos substituir nossa segunda integral por partes na expressão ( I )

∫ e t . cos ⁡ t   d t = cos ⁡ t . e t + ∫ e t . s e n   t   d t     ( I )

∫ e t . cos ⁡ t   d t = cos ⁡ t . e t + u . v - ∫ v   d u

∫ e t . cos ⁡ t   d t = e t . cos ⁡ t + e t . s e n   t - ∫ e t . cos ⁡ t   d t

∫ e t . cos ⁡ t   d t = e t . cos ⁡ t + e t . s e n   t - ∫ e t . cos ⁡ t   d t

Passando o ∫ e t . cos ⁡ t   d t pro outro lado:

2 ∫ e t . cos ⁡ t   d t = e t . cos ⁡ t + e t . s e n   t

∫ e t . cos ⁡ t   d t = e t . cos ⁡ t + e t . s e n   t 2 + C

Ihu! Calculamos nossa integral indefinida. Agora é só fazer os limites de integração :P

Passo 7

Temos

∫ 0 π . 1 4 e t . cos ⁡ t   d t = e t . cos ⁡ t + e t . s e n   t 2 0 π 4

∫ 0 π . 1 4 e t . cos ⁡ t   d t = e π 4 . cos ⁡ π 4 + e π 4 . s e n π 4 2 - e 0 . cos ⁡ 0 + e 0 . s e n 0 2

∫ 0 π . 1 4 e t . cos ⁡ t   d t = e π 4 . 2 2 + e π 4 . 2 2 2 - 1 2

∫ 0 π . 1 4 e t . cos ⁡ t   d t = 2 . e π 4 . 2 2 2 - 1 2

Então, nossa ordenada do ponto de inflexão é:

y = ∫ 0 π . 1 4 e t . cos ⁡ t   d t = 2 . e π 4 2 - 1 2

Resposta

a) f ' x = π . e π x . cos ⁡ π x

f ' ' x = π 2 . e π x . cos ⁡ π x - s e n   π x

b) x = 1 4

c) y = 2 . e π 4 2 - 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use a parte 1 do teorema fundamental do cálculo para encontrar a derivada da função: h x = ∫ 2 1 / x arctan ⁡ t d t
Cada uma das seguintes funções resolve um dos problemas de valor inicial dos Exercícios 65-68. Qual função resolve qual problema? Justifique brevemente suas respostas. y = ∫ 1 x 1 t d t - 3 y = ∫ 0 x
Ache a integral indefinida geral. Ilustre fazendo o gráfico de vários membros da família na mesma tela. ∫ cos ⁡ x - 2 s e n x d x
A região no primeiro quadrante, limitada pela curva y = 5 - x x + 1 2 , pelo eixo x e pelo eixo y gira em torno do eixo x . Ache o volume do sólido gerado.
Em uma cidade com 12000 pessoas, a taxa de crescimento de uma epidemia de gripe é conjuntamente proporcional ao número de pessoas tiveram a gripe e ao número de pessoas que não a contraíram. Cinco dia