Seja

F x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x + t 2 d t

Calcule F ' x e determine F ' π 4 .

Passo 1

O primeiro passo essencial dessa questão é notar que dentro dela há um termo que está em função unicamente de x , o e 2 x . Tendo em vista que a integral é pedida para a variável t nós devemos separar o termo da função que só depende de x , como se estivéssemos considerando que ele é constante:

F x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e 2 x + t 2 d t = e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t

Lembrando que quando expoentes somam-se, para uma mesma base, é como se ocorresse um produto da base elevada a cada expoente:

e a + b = e a . e b

Passo 2

Continuando, agora a boa, já que vamos derivar essa integral, é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo. Como temos no limite inferior e no limite superior termos que são funções de x seria mais fácil separar a integral em duas, para aplicar a cada uma delas o Teorema da seguinte maneira:

F x = e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t = e 2 x ∫ sen ⁡ x C e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t

F x = e 2 x - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t

Onde C seria uma constante qualquer.

Passo 3

Repara uma coisa agora comigo: nós temos como derivar pelo Teorema Fundamental as integrais sozinhas que aparecem ali; acontece que temos um produto entre e 2 x , que já é função de x , e essas integrais. Conclusão, temos que derivar usando a Regra do Produto:

F ' x = e 2 x ' - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - ∫ C sen ⁡ x e t 2 d t + ∫ C cos ⁡ x e t 2 d t '

F ' x = 2 e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 ⁡ x sen ⁡ x ' + e cos 2 ⁡ x cos ⁡ x '

F ' x = 2 e 2 x ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x + e cos 2 ⁡ x - sen ⁡ x

F ' x = e 2 x 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t + e 2 x - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x + e cos 2 ⁡ x - sen ⁡ x

F ' x = e 2 x 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x - e cos 2 ⁡ x sen ⁡ x

Passo 4

Agora vamos aplicar x = π 4 :

F ' π 4 = e 2 π 4 2 ∫ sen ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 e t 2 d t - e sen 2 ⁡ π 4 cos ⁡ π 4 - e cos 2 ⁡ π 4 sen ⁡ π 4

= e π 2 2 ∫ 2 2 2 2 e t 2 d t - e 2 2 2 2 2 - e 2 2 2 2 2

Quando uma integral tem limites superior e inferior iguais seu resultado é nulo:

= e π 2 2 0 - e 1 2 2 2 - e 1 2 2 2

= e π 2 - e 1 2 2

= - e π 4 2

Resposta

F ' x = e 2 x 2 ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x e t 2 d t - e sen 2 ⁡ x cos ⁡ x - e cos 2 ⁡ x sen ⁡ x

F ' π 4 = - 2 e π 2 + 1 2

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